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2004年全国高中数学联赛四川省初赛 2004年9月12日上午9∶00——11∶00 一、选择题(每小题5分，6个小题共计30分) 函数f(x)＝＋C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 已知f(x)对任意的整数x都有f(x＋＝－＝＝＋θ－＋θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4或x≤0 D.m≥1或m≤0 母线长为的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为A.1 B.2 C.3 D.4 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为A. B. C. D. 函数y＝＋－ B. C. D. 二、填空题(每小题5分，6个小题共计30分) 已知函数f(x)＝)＋)＋……＋)＝－≤2x＋＜、、＜＋＋＝的最小值是_________. 已知正四棱锥V－、、、、、＝－＋＝－、＝＝－＋－≥2)，求通项an. 如图，O、△ABC的外心和垂心，D是BC边的中点，由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E是F.证明：D、、＝……，n}，用Sn表示A的所有非空真子集中个元素之和，Bn表示A的子集个数.求. 已知椭圆ε：＝＞＞ 动圆Γ：x2＋＝＜＜若A是椭圆ε上的动点，B是动圆Γ上的动点，且使直线AB与椭圆ε和动圆Γ均相切，求A、 2004年全国高中数学联赛(四川省初赛) 参考答案 一、ABCBDA 二、7、50； 8、{x|－≤x≤3}；、；、；、；、π＋＝－＋－≥2) ……5令bn＝＋＝＋＝＝－≥2) ……10于是bn＝·2n－＝＋＝……15故an＝－≥2)，因为a1＝所以an＝－≥1) ……20 14.证明：连结OA，OD，并延长OD交△ABC的外接圆于M则OD⊥BC，∴A、、∵AE、△ABC的∠A及其外角平分线，∴AE⊥AF ……5又∵HE⊥AE，HF⊥AF∴四边形AEHF为矩形.因此AH与EF互相平分，设其交点为G于是：AG＝ ＝ ＝……10而OA＝∥AH∴∠OAM＝∠＝∠＝∠故EG∥OA (1) ……15∵O、△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC∴OD＝ ＝从而DG∥OA (2)由(1)和(2)知，D、、故D、、＝……5先考察数字1在A的所有非空真子集中出现的次数：在一元子集中只出现1次在二元子集中出现C次，在三元子集中出现C次，……在n－次，故数字1在所有子集中出现的次数为1＋＋＋……＋＝－－.……10对其余数字有完全相同的结论.于是Sn＝＋＋＋……＋－－＝－－……15∴ ……20 16．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为:y＝＋因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有将(1)代入(2)得：(a2k2＋＋＋－＝由于直线与椭圆相切，故△＝－＋－＝从而可得：m2＝＋＝－……5同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得：m2＝＋＝－……10由(3)(4)得：k2＝－＝∴|AB|2＝－＋－＝＋－ ＝＝＝＋－－＝－－－≤(a－……15即|AB|≤a－＝所以，A、－……20 中国奥博教育 http://www.chinaAoB 浙江奥数网 4 ADD：浙江省杭州市学院路146号第一教学楼507室 TEL： 0571 FAX： 0571—85028578