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世界杯赛中的数学问题 江苏省六合县第一中学 刘 明（211500） （电话：办025-7759443 宅025-7753432） 第17届韩日世界杯足球赛已落下帷幕，世界杯赛场上那激烈的对抗、美妙的配合、精彩的射门、扣人心弦的比赛结果，给人留下了深刻的印象．足球，给人以无穷的享受．在欣赏足球魅力的同时，我们不妨从数学的角度来探讨世界杯足球赛中的几个数学问题． 1．射门最佳点问题——轨迹方程的应用 例1 某国家为了提高本国球员在世界杯赛场上的攻击能力，特聘请几位数学家参与国家队的训练与比赛方案的制定．数学家们针对提高前锋进球率问题，提出了几套方案，下面是研究成果的一部分，请你来完成． 图1是国际比赛标准规格的比赛场地，长110米，宽90米，足球门宽7.32米．这里数学家 门先给出了三点假设： （1）将足球看成是一个质点； （2）足球运动轨迹与地面平行； （3）暂不考虑对方守门员对射门的干扰和影响． 那么，在足球厂上的哪个位置射门命中率较高？ 分析：我们仅对一个球门进行讨论，设点P是球场上的任一点． 我们知道，队员技术水平一定的情况下，∠APB越大，在点P射门命中率就越大，我们称使得∠APB最大的点P为足球射门最佳点，那么在足球场内，哪些点属于足球射门最佳点呢？为了研究方便，我们把球场划为三个带形区域、和（如图2所示），以BA所在直线为y轴，以AB垂直平分线为x轴建立如图2所示的直角坐标系．所以有点A（0, 3.66）、B(0, -3.66)、C(0,-45)、D(0, 45)． （1）先求在带形区域、内射门最佳点的位置． 在区域内任取一点P（x, y）. ①若y保持不变，则动点P只能在线段上移动，连结PA、PB． ． 由于y不变，所以x与积为定值， 即． 当且仅当，即时，取等号． 由于，为锐角，而锐角的正切函数为增函数， ∴当仅当时，∠APB取最大值，点P是射门最佳点，此时 于是对于区域内每一个确定的y，都存在相应的，使得点（x, y）是射门最佳点，所以区域内射门最佳点轨迹方程为： ，它是等轴双曲线的一部分． 同理，区域BB′C′C内射门最佳点轨迹方程为 ． ②若点P的横坐标x保持不变，显然P越靠近x轴，∠APB越大，射门命中率越高． 综上所述，在区域及区域内与边线平行位置射门时，在曲线上较好；在与底线平行位置射门，越居中越居中（靠近x轴）越好． （2）求在区域内射门最佳点的位置． 如图3，在区域内任取一点P（x, y）． ①若y保持不变，显然P离门越近，越大，命中率越大． ②若x保持不变，作垂足为F. 因为x为定值，所以为定值． 当且仅当时，上式取等号，又以为是锐角，锐角的正切函数为增函数，所以当且仅当时，∠APB最大，此时P点在x轴上． 可见，在区域内，最佳点轨迹方程为． 说明： 通过上面的例题，可以改变一些人这样的错误认识——离球门越近射门越好，如在图2中，点N到球门的距离比点M到球门的距离要远一些，但是，点N的射门效果要比点M的射门效果好． 2．足球的球面问题——多面体中欧拉公式的应用 例2 以往的足球多数是由黑、白两色皮粘合或缝制成的多面体加工而成．其中黑块皮为正五边形，白块皮为正六边形．表面之间具有下列特征： (1)黑块皮周围都是白块皮； (2)每两个相邻的多边形恰好有一条公共边； (3)每个顶点都是相邻三块皮的公共点，且为一黑二白(如图4所示)． 随着科技的发展、足球运动水平的提高及人们审美观的改变，足球在皮革材料的选取、制作方法等方面都得到了大幅的改进．如本届世界杯比赛的“飞火流星”就是使用了必威体育精装版科技制造的足球，该球表面采用蜂窝泡沫设计，使足球重量减轻，飞行更加快速，表面的涂层在光线的照射下会出现淡淡的金色，使足球成为真正的艺术品．但同时我们发现，其表面的正五边形和正六边形的结构特征却始终如一． (1)求题中足球球面上正五边形和正六边形的个数；（2）能否制作出与题中的足球具有相同的顶点个数、球面为正多多面体的足球？ 分析：(1)简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系V+F-E=2（欧拉公式）．假设正五、六边形各有x、y个，则面数F=x+y．由于每条棱均为二个面的交线，棱数E，而每个顶点均为三个面的公共点，顶点数V=．由欧拉定理，得 +-=2 ， ① 又因为每个正六边形的六条边中有三条边与正五边形相连，剩余三条边与正六边形相接，故有 ， ②　 解①、②，可得x=12、y=20，即正五边形有12个，正六边形有20个．此时，面数为32，顶点数为60，棱边数为90． (2)多面体是指各个面均为全等的正多边形的多面体．每个正多边形各边的长和顶角分别对应相等． 利用欧拉定理可以证明，球面为正多面体时，有下列五种可能：正四面体、正六面体、正八面体、正十