自动控制原理-线性系统的根轨迹法1教学教材.ppt

规则7：根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（ ）确定。 可由劳斯表求出 或 令s=jω解出 例4.2 设单位负反馈控制系统开环传递函数： 试绘制控制系统根轨迹图。 解： 规则1：根轨迹起始于开环极点0，－2，－4， 终止开环零点?， ?， ? 规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数 n＝3 规则3: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。 规则4: 实轴上的根轨迹线段是【－2，0】，（?，－4】。 规则6：根轨迹的分离点： 舍去 实轴交点 与实轴夹角 规则5：根轨迹的渐近线：共有3－0＝3条渐近线 第四章 线性系统的根轨迹法 4.1 引言 控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法－－根轨迹法。 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。 本章重点研究问题 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。 考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹），了解闭环系统动态性能的变化。 利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。 G(s) H(s) + - 闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式 4.2 根轨迹法的概念 若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。 例: 二阶系统的根轨迹 开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。 1.根轨迹的定义 开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。 K s1 s2 0 0 -2 0.25 -0.3 -1.7 0.5 -1 -1 1 -1+j -1-j 2.5 -1+j2 -1-j2 ∞ -1+j∞ -1-j∞ ? ? 2.根轨迹与系统性能 稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。 稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常采用根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。 动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。 根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。 结论： 闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。 由闭环传递函数 当 求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。 根轨迹方程 4.根轨迹方程 根轨迹方程可以进一步表示为 相角条件（幅角条件）：（充分必要条件） 模值条件（幅值条件）： 由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。 (2) 根轨迹 上的点符合相角条件，且 符合相角条件的点一定在根轨迹上。故 相角条件是根轨迹的充要条件。 (1) 当 从 变化时，S平面上系统特征根的变化形成轨迹。每一个 值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。 例4.1 开环极点： 无开环零点 闭环系统特征方程式: 闭环特征根: 1. 2. 3. 4. 验证： 4-3 根轨迹绘制的基本法则 常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益 相角条件： 180o根轨迹 规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 简要证明： 又从 为了避免丢失方程的根，在上式中作变换： 这仍然是个n次方程： 对应有： 在实际系统通常是 ，因此有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。 有两个无穷远处的终点 有一个无穷远处的起点 规则2、3：根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm） 或与开环有限零点数m相等（nm) 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。