自动控制原理第2篇 章 数学基础.ppt

2.2 拉普拉斯反变换 【例2-1】求 的原函数f(t)。 解： 的两个根为： , 代入公式得 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 得到象函数为： 得到原函数为： * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 2、 D(s)=0有重根 设p1为D(s)=0的重根，其余的全部都为单根，则F(s)可以分解为 对于单根，仍然采用前面的方法计算。 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 对于 和 ，则需要用到下式： 由上式把 单独分离出来，可得： 再对式上中的s求一阶导数，分离 ，得 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 如果D(s)=0具有q阶重根时，其余为单根时的分解式为 式中 …… * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 【例2-2】求 的原函数f(t) 解：令 =0 重根为p1=0，单根为 p2= -2 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 得到象函数为： 得到原函数为： * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 3、D(s)=0有共轭复根 设共轭复根为 ， 则 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 由于F(s)是实系数多项式之比，故k1和k2也为共轭复数。 设 ，则 ，有 * 第2章 数学基础 * 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 第2章 数学基础 * * 2.1 拉普拉斯变换 本章内容 2.2 拉普拉斯反变换 2.3 Matlab运算基础 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 2.1.1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有 * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子，收敛因子中的s=?+j?是一个复数形式的频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部既可为正、为负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的象函数。记作 * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 【例2-1】求单位阶跃函数 、单位冲激函数 、指数函数 的象函数。 解： * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 3．积分性质 函数 的象函数与其积分 的象函数之间满足如下关系： 若： 则有： * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 4．延迟性质 函数 的象函数与其延迟函数 的象函数之间有如下关系： 若： 则有： * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 5．终值定理 函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则 的终值为： * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 6．初值定理 函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则 的初值为： * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 7．卷积性质 卷积的定义为：若 和 可以进行拉氏变换，称积分 为 和 的卷积。记为 ，即 * 第2章 数学基础 * 2.1 拉普拉斯变换 卷积定理为：若 ， ，则： 即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反变换的时候，起着十分重要的作用。 * 第2章 数学基础 * 2.2 拉普拉斯反变换 2.2.1 拉普拉斯反变换的定义