自动控制原理第三篇 章_时域分析3.ppt

* * 3-5 线性控制系统的稳定性分析 自动控制系统的基本性能（要求）之一：稳定性 分析系统动态和稳态指标必须在系统稳定的前提下进行。稳定是压倒一切的。 研究内容： 稳定性的概念(局限于线性系统） 线性系统稳定的充要条件 代数稳定性判据及其应用 3.5.1 稳定性的基本概念 稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。 李亚普诺夫稳定性理论 如果一个线性控制系统在初始扰动作用下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并恢复到原始的平衡状态，则称系统是渐进稳定的，简称稳定。 反之，若在初始扰动作用下，系统的动态过程随时间的推移而发散，称系统是不稳定的。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，是系统本身固有的特性，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号（外部扰动量）和初始值无关。 3.5.2．稳定的充要条件 设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函数 ，即R（S）=1。当作用时间t0时， =0. 即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。 设闭环系统的传递函数： 设 为系统特征方程 的根，而且彼此不等。 系统输出： 对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出： 上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在 平面的左半部。 3.5.3. 代数稳定性判据 1877年，劳斯（Routh）提出了判断n次代数方程所有根都具有负实部的一般方法。 1895年，瑞士数学家赫尔维茨（Hurwitz）也独立提出了同样的结果，只是形式不同。 一种间接判断系统特征根是否具有全部负实部的方法 系统特征方程： 系统稳定需要满足必要条件（否则不稳定）： ⑴ 系统特征方程次数不缺项 ⑵ 系统特征方程系数符号一致（全为正或负） （一）、赫尔维茨判据 赫尔维茨判据 设系统的特征方程式为： 则系统稳定的充要条件是： ，且由特征方程系数构成的赫尔维茨行列式的主子行列式全部为正。 赫尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 ，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。 赫尔维茨行列式： 赫尔维茨判据 以4阶系统为例使用赫尔维茨判据： 赫尔维茨行列式为： 稳定的充要条件是： 赫尔维茨判据的另一种形式 系统稳定的充要条件（Lienard-Chipard定理）： 若 或 ，则系统稳定。 赫尔维茨判据的另一种形式： 式中， 为赫尔维茨主子行列式。采用这种形式的判据可减少一半的计算工作量。 [例]：系统的特征方程为： 试用赫尔维茨定理判稳。 [解]：系统的特征方程为： 列赫尔维茨行列式如下： 所以，系统是稳定的。 注意：由于 所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 这样可以减小一半的计算量。 将各项系数，按下面的格式排成劳斯表 （二）劳斯稳定判据 系统的闭环特征方程为 ? 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，系统是稳定的。 ? 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，系统为不稳定，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数。 首先检验：系统特征方程次数是否缺项 系统特征方程系数符号是否全为正 注：计算时，劳斯表第一列一旦出现零或负值，就说明该系统不稳定 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表 s6 s5 s0 s1 s2 s3 s4 1 2 4 6 3 5 7 (6－4)/2=1 1 (10-6)/2=2 2 7 1 2 4 6 3 5 7 1 0 (6-14)/1= -8 -8 2