标题_2018-2019学年高中新创新一轮复习文数江苏专版：课时达标检测(三十一） 数列求和与数列的综合问题.doc

课时达标检测(三十一） 数列求和与数列的综合问题 一、全员必做题 1．(2017·山东高考)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连结点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn. 解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知得q＞0. 由题意得 所以3q2－5q－2＝0. 因为q＞0，所以q＝2，x1＝1， 因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1. (2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1， 记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2. 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1. ①－得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝. 2．(2018·泰州调研)对于数列{xn}，若对任意nN*，都有＜xn＋1成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设数列{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝. (1)求数列{an}的通项公式，并判断数列{Sn}是否为“减差数列”； (2)设bn＝(2－nan)t＋an，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，求实数t的取值范围． 解：(1)设数列{an}的公比为q， 因为a1＝1，S3＝， 所以1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q－3＝0， 所以(2q－1)(2q＋3)＝0. 因为q＞0，所以q＝， 所以an＝，Sn＝＝2－， 所以＝2－－＜2－＝Sn＋1， 所以数列{Sn}是“减差数列”． (2)由题设知，bn＝t＋＝2t－. 由＜bn＋1(n≥3，nN*)， 得t－＋t－＜2t－， 即＋＞， 化简得t(n－2)＞1. 又当n≥3时，t(n－2)＞1恒成立， 即t＞恒成立， 所以t＞max＝1. 故实数t的取值范围是(1，＋∞)． 3．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数y＝f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数y＝f(x)的图象上， 所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5， 所以an＝6n－5(nN*)． (2)由(1)得bn＝＝ ＝， 故Tn＝1－＋＋…＋－＝＝. 二、重点选做题 1．(2017·北京高考)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数． (1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列； (2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列． 解：(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0， c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1， c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2,5－3×3}＝－2. 当n≥3时， (bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0， 所以bk－nak关于kN*单调递减． 所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n. 所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差数列． (2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则 bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n ＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)． 所以c