标题_2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时达标检测(五十四） 数学归纳法.doc

课时达标检测(五十四） 数学归纳法 一、全员必做题 1．(2018·南通期初)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，nN*. (1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝－＝1，所以f(1)＝g(1)； 当n＝2时，f(2)＝1＋＝，g(2)＝－＝，所以f(2)＜g(2)； 当n＝3时，f(3)＝1＋＋＝，g(3)＝－＝，所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． 当n＝1时，不等式显然成立． 假设当n＝k(kN*)时不等式成立． 即1＋＋＋＋…＋＜－， 那么，当n＝k＋1时， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋， 因为－ ＝－＝＜0， 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)． 由可知，对一切nN*，都有f(n)≤g(n)成立． 2．(2018·苏北四市模拟)已知数列{an}满足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，nN*.求证： (1)g(2)＞； (2)当n≥3时，g(n)＞. 证明：(1)由题意知，an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋， 当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝＞. (2)用数学归纳法加以证明： 当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋＋＋＋ ＝＋＋ ＞＋＋ ＝＋＋ ＞＋＋＞， 所以当n＝3时，结论成立． 假设当n＝k时，结论成立，即g(k)＞， 则n＝k＋1时， g(k＋1)＝g(k)＋＋＋…＋－ ＞＋ ＞＋－ ＝＋ ＝＋， 由k≥3可知，3k2－7k－3＞0，即g(k＋1)＞. 所以当n＝k＋1时，结论也成立． 综合可得，当n≥3时，g(n)＞. 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值． (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式··…·＞成立． 解：(1)由题意，Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r. 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于b＞0且b≠1， 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，即＝b， 解得r＝－1. (2)证明：由(1)知an＝2n－1， 因此bn＝2n(nN*)， 所证不等式为··…·＞. 当n＝1时，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以结论成立． 假设n＝k(k≥1，kN*)时结论成立， 即··…·＞，则当n＝k＋1时， ··…··＞·＝， 要证当n＝k＋1时结论成立， 只需证≥， 即证≥， 由基本不等式得＝≥成立， 故≥成立， 所以，当n＝k＋1时，结论成立． 由可知，nN*时，不等式··…·＞成立． 二、重点选做题 1．(2018·盐城模拟)记f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，nZ)． (1)求f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)当n≥2，nN*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明． 解：(1)因为f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C， 所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140. (2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4. 下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可． 当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立； 假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C ＝(3k＋2)C＋3C ＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C ＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C ＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C ＝f(k)＋4(k＋1)C， 此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立． 综上所述，所有f(n)的最大公约数为4. 2．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(nN*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数． (1)写出f(6)的值； (2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足： 若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6. 所以f(6)＝13. (2)当n≥6时， f(n)＝(tN*) 下面用数学归纳法证明： 当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立． 假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，