标题_2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时达标检测(四十） 利用空间向量求空间角.doc

课时达标检测(四十） 利用空间向量求空间角 一、全员必做题 1．(2018·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P-ABCD中， PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝. (1)求异面直线MN与PC所成角的大小； (2)求二面角N-PC-B的余弦值． 解：(1) 设AC，BD交于点O，在正四棱锥P-ABCD中，OP平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，，方向分别为x轴、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示． 则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0，0，)，＝(－1,1，)． 故＝＋＝＋＝，＝＝， 所以＝－＝，＝(－1,1，－)， 所以cos〈，〉＝＝， 所以异面直线MN与PC所成角的大小为. (2)由(1)知＝(－1,1，－)，＝(2,0,0)，＝. 设m＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则由 可得令y＝，则z＝1，即m＝(0，，1)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，则由 可得令x1＝2，则y1＝4，z1＝，即n＝(2,4，)， 所以cos〈m，n〉＝＝＝， 则二面角N-PC-B的余弦值为. 2．(2018·镇江市高三期末考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E是棱PC的中点． (1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (2)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角F-AB-P的正弦值． 解：(1)以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz(图略)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC中点，得E(1,1,1)， 故＝(0,1,1)，＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n，n， 即不妨令y＝1， 可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量， 于是cos〈n，〉＝＝＝.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为. (2)＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)． 由点F在棱PC上，设＝λ,0≤λ≤1. 故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BFAC，得·＝0， 因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即＝. 设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则n1·＝0，n1·＝0，即令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量. 取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)， 则cos〈n1，n2〉＝＝－， 即sin〈n1，n2〉＝. 故二面角FABP的正弦值为. 3．(2018·苏北四市一模)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC＝BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点． (1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值； (2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值． 解：(1)因为PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD. 又因为BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0，0,4)． 又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)． 所以＝(－1,1,2)，＝(0,0,4)， 所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为. (2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)， 则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－4)． 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则即令x＝2，解得y＝0，z＝1， 所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量， 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为， 所以|cos〈，m〉|＝＝＝，解得λ＝1[0,4]，所以λ的值为1. 二、重点选做题 1．(2018·苏州学情调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABC＝BAD＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1 ，PA平面ABCD. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)棱PD上是否存在一点E满足AEC＝90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由． 解：(1)依题意，以A为坐标原点， 分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz， 则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 从而＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,2，－1)， 设平面PCD的法向量为n＝