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经历了十八世纪数学公理化浪潮的冲击到十九世纪 数学公理化体系的建立，近代数学已发展成为一门形式 抽象，结构严谨的学科。 这种严谨性和抽象性使得数学更具科学性，这是数 学区别于其它学科的重要特点。然而，从教育的角度看, 数学的这种特点这也使数学开始疏远了大众，数学教育 变得困难起来了。其原因就在于我们目前表达数学的方 法和语言是属于数学家们的，而非大众化的。 如何使数学既保持其严谨性，又易于为非数学专业 人所接受，始终是摆在数学教育工作者面前的难题。 一百年前，德国数学家克莱茵提出了“可视化”数 学的想法 — visual Math，即数学应按照“直观动态” 的形式进行讲述。克莱茵的想法无疑是对的，但在当时 技术条件下这一点是难以做到的。 当今计算机技术的飞 速发展使得数学的可视化 设想成为可能。本人的多 媒体课件的开发正是在这 一认识基础上展开的。 本课件是为配合同济大学《高等数学》(少学时第 三版)课程教学而制作的一套多媒体配套课件，课件分 授课型和备课型两种版本。 授课型又称简约型版本包含了教材的基本内容，即 不带 * 号的章节，主要介绍高等数学的基本概念、基本 理论、基本方法，疑难点说明及主要例题分析。 简约型版本适用于学时较少的学校的课堂教学及学 生预习，该版本的课件随书发行，随书发行的课件版本 内容不能修改。 备课型又称完整型版本覆盖了教材的全部内容，除 包含了简约型版本的内容外，又补充了较多的例题及难 题分析及疑难点说明。还增加相关知识介绍及对高等数 学发展作出突出贡献的数学家略传。此外，完整型版本 还付了教材的习题及解答。 备课型版本适用于教师备课及学生自学。该版本课 的内容可以修改，该版本的课件内容可以修改，使用者 可根据各自的条件和需要改编成适合于自身特点的个性 化课件。 为了实现数学教学的可视化动态化，该课 件制作了大量具有数学创意的图形动画，通过 形象生动的动画形式将复杂抽象的数学概念简 单地表现出来，不仅可使没有受过专门训练的 人能一目了然地理解数学概念的本质，也可有 效地训练和培养学生的直观想象能力。 为提高课堂教学效率，节省教学学时，该 课件的文本为全动画形式，其动画形式模拟黑 板板书的书写过程，这样不仅符合一般的阅读 习惯，也省了教师大量的重复劳动。 为具有普及性和通用性，该课件采取了简 单化的操作设计，即只需不断单击鼠就逐步显 示课件的教学内容。 此外，本课件制作以最基本的 Powerpint 2003为软件平台，各类动画效果的制作及文字 和数学符号的录入方式基本在 Powerpint 2003 下完成，少数数学符号及公式辅以 Mathtype 5.02. 只要安装了Office 2003 软件就可运行该 课件。 例：讨论由方程 x 2 + y 2 + z 2 = a 2，x 2 + y 2 +( z- a )2 = a 2 构成的方程组表示什么曲线，并作曲线图形。 曲线方程由一般式给出，这一 方程形式具有直观性，由此可通过两曲 面的性质研究曲线性质。 曲线方程的这种方程组形式也便于 对曲线方程进行化简，通过化简不仅可 更方便地讨论曲线性质，还便于作曲线 的图形。 用曲线的一般式方程研究曲线性质 研究曲面性质，描绘曲线图形 方程 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 表示球心在原点，半经为 a 的 球面。 方程 x 2 + y 2 +( z - a )2 = a 2 表示球心在点( 0 ,0 , a ), 半经为 a 的球面。 由此可知，所论曲线为两球面的交线，它是空间某 平行于 xOy 坐标面上的圆周。 直接由给定的一般式方程作交线图形 为便于研究曲线性质，常需考虑对曲线方程进行化 简，对曲线的一般式方程总可通过消元法化简。 1 - 2有 2az - a 2 = 0，即 ? 3: z = 1/2a ， 3 由于消元法不改变方程的解，故原方程组等价于 于是，曲线可化简为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 与平面 z = 1/2a 的交线。 化简曲线方程再作交线图形 将3式代入1式可得 ? 4：x 2 + y 2 = 3/4a 2，4 故原方程组等价于 于是原曲线又可化简为柱面与平面的交线。 进一步化简曲线方程 将求得的一、二阶导数零点，一、二阶导数不存在 点按其大小顺序排列，并用这些点分割函数定义域，再 列表讨论函数性