2019届高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算学案 理.docVIP

4．1　平面向量的概念及线性运算 [知识梳理] 1．向量的有关概念 2．向量的线性运算 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa. 特别提醒：(1)限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． (2)零向量与任何向量共线． (3)平行向量与起点无关． (4)若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，则＝(＋)．(　　) (2)若ab，bc，则ac.(　　) (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A4P78A组T5)设D为ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A. (2)(必修A4P92A组T12)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)． 答案　b－a　－a－b 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 3．小题热身 (1)设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；若a与a0平行，则a＝|a|a0；若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D. (2)设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝________. 答案　 解析　a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，t＝－1，tλ＝－，即λ＝. 题型1　平面向量的基本概念 　　判断下列各命题是否正确： (1)单位向量都相等； (2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关； (3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； (4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； (5)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且ab. 根据向量的相关概念判定． 解　(1)不正确． (2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． (3)正确，＝，||＝||且ABDC. 又A，B，C，D是不共线的四点， 四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同．因此＝. (4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线． (5)不正确，当ab，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b. 解决向量的概念问题应关注五点 1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量． 3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． 4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量． 5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 冲关针对训练 下列4个命题： (1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab； (2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行； (3)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线； (4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为________． 答案　(1)(2)(3) 解析　(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量平行． (3)不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线． (4)正确． 题型2　平面向量的线性运算 　　　如图所示，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 用向量的三角形法则转化． 答案　D 解析　在CEF中，有＝＋. 因为点E是DC的中点，所以＝. 因为点F为BC的一个三等分点，所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝－，故选D. 平面向量线性运算问题的求解策略 1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用