2019届高考数学一轮复习 第5章 数列 5.4 数列求和学案 理.docVIP

5．4　数列求和 [知识梳理] 1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列求和公式： Sn＝ 2．非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法． 常见的裂项公式： ①＝； ②＝； ③＝； ④＝(－)． 3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)12＋22＋32＋…＋n2＝； (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. [诊断自测] 1．概念辨析 (1)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝.(　　) (2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n1，n∈N*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A5 P47T4)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 答案　D 解析　an＝－，Sn＝1－＝，又前n项和为，所以n＝2017.故选D. (2)(必修A5 P38T8)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　) A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) 答案　A 解析　第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)．故选A. 3．小题热身 (1)数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2018等于(　　) A．－1010 B．2018 C．505 D．1010 答案　A 解析　易知a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，…. 所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a2017＝0，a2018＝2018×cos＝－2018，∴S2018＝S2016＋a2018＝1008－2018＝－1010.故选A. (2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 答案　－ 解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 题型1　错位相减法求和 　　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)、方程思想、错位相减法． 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d. 由即 可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2. 方法技巧 利用错位相减法的一般类型及思路 1．适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列． 2．思路：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，(*) 则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，(**) (*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．如典例． 提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项