2019届高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式学案 理.docVIP

6．1　不等关系与不等式的性质及一元二次不等式 [知识梳理] 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0?a＞b. (2)a－b＝0?a＝b. (3)a－b＜0?a＜b. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b?b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c. (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)． (8)开方法则：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)． 3．必记结论 (1)ab，ab0?. (2)a0b?. (3)ab0,0cd?. (4)0axb或axb0?. (5)若ab0，m0，则； (b－m0)；； (b－m0)． 4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a2＋(a≠0)． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 5．三个二次之间的关系 [诊断自测] 1．概念思辨 (1)a＞b?ac2＞bc2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．教材衍化 (1)(必修A5P74T3)下列四个结论，正确的是(　　) ①a＞b，c＜d?a－c＞b－d；②a＞b＞0，c＜d＜0?ac＞bd；③a＞b＞0?＞；④a＞b＞0?＞. A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 答案　D 解析　利用不等式的性质易知①③正确．故选D. (2)(必修A5P80A组T3)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞) 解析　由题意知Δ＝(m＋1)2＋4m＞0，即m2＋6m＋1＞0，解得m＞－3＋2或m＜－3－2. 3.小题热身 (1)(2014·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 答案　D 解析　解法一：? ?＞?＜.故选D. 解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1， 代入验证得A，B，C均错，只有D正确．故选D. (2)已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A. B. C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1} 答案　A 解析　由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根． 由韦达定理? ∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0. 可知x＝－1，x＝是对应方程的根，故选A. 题型1　不等式性质的应用 　　若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是________． 用作差法． 答案　|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解析　当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0. 当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0， ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)＞0. ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|. 　　已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围． 运用待定系数法． 解　由题意知f(x)＝ax2＋bx，则f(－2)＝4a－2b， 由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b， 设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， 即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)． 又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10， 即f(－2)的取值范围是[6,10]． 方法技巧 不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略 1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1. 2．不等式的性质及应用 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利