2019届高考数学一轮复习 第7章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法课后作业 理.docVIP

7．7　立体几何中的向量方法[重点保分 两级优选练] A级 一、选择题 1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　由已知得＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， cos〈，〉＝＝＝. 向量与的夹角为60°.故选C. 2．(2018·伊宁期末)三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　C 解析　二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝， 二面角A－BD－C的大小为或.故选C. 3．(2017·太原期中)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)． ＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)． cos〈，〉＝＝.故选C. 4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EFA1D，EFAC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案　B 解析　以D点为坐标原点， 以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体棱长为1， 则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B. 5．(2018·河南模拟)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则·的最小值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　建立如图所示的直角坐标系， 则D(1,0,2)，B1(0,1,3)， 设P(0,0，z)(0≤z≤3)， 则＝(1,0,2－z)，＝(0,1,3－z)， ·＝0＋0＋(2－z)(3－z)＝2－， 故当z＝时，·取得最小值为－.故选B. 6．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0a1)，则D′E与B′F的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 答案　B 解析　建立如图所示空间直角坐标系． 则D′(0,0,1)，E(1－a,1,0)，B′(1,1,1)，F(0,1－a,0)， ＝(1－a,1，－1)，＝(－1，－a，－1)． ·＝(1－a)×(－1)＋1×(－a)＋(－1)×(－1)＝a－1－a＋1＝0. ⊥，即D′EB′F.故选B. 7．(2017·聊城期中)在三棱锥P－ABC中，PA平面ABC，BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，0,0，E，，0，F，＝(0,0，－2)，＝，＝. 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则由得 取z＝1，则n＝(2,0,1)， 设PA与平面DEF所成的角为θ， 则sinθ＝＝，PA与平面DEF所成角的正弦值为.故选C. 8．(2018·江西红色七校模拟)已知二面角α－l－β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，β内，ACl，BDl，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于 (　　) A. B. C．2 D. 答案　C 解析　解法一：依题意可知二面角α－l－β的大小等于与所成的角，因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，因为ACAB，BDAB，AB＝AC＝BD＝1，所以2＝1＋1＋1＋2·＝3＋2||||·cos〈，〉＝3＋2cos〈，〉， 因为〈，〉＝120°，所以〈，〉＝60°， 因此2＝3＋2×＝4，所以||＝2，故选C. 解法二：在β内作AE綊BD.连接CE、