2019届高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程学案 理.docVIP

8．3　圆的方程 [知识梳理] 1．圆的方程 标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 2．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： 设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离 (1)drM在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2M在圆外； (2)d＝rM在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2M在圆上； (3)drM在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2M在圆内． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．(　　) (3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A2P120例3)过点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10 C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10 答案　D 解析　依据题意知圆心为CD的垂直平分线与x轴的交点．由已知可得CD的垂直平分线的方程为x＋y－2＝0，即圆心为(2,0)，所以半径为＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.故选D. (2)(必修A2P124A组T1)动圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0的圆心的轨迹方程是________． 答案　x－3y－3＝0 解析　圆的方程可化为(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25.不论m取何实数，方程都表示圆. 设动圆圆心为(x0，y0)，则消去参变量m，得x0－3y0－3＝0，即动圆圆心的轨迹方程为x－3y－3＝0. 3．小题热身 (1)(2018·西城区期末)圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　) A．2 B. C．1 D. 答案　D 解析　已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x－y＝1的距离是＝＝.故选D. (2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．答案(x＋1)2＋(y＋2)2＝10　设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上， 所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过A，B两点， 所以|CA|＝|CB|，即＝ ，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 题型1　求圆的方程 　　根据下列条件求圆的方程． (1)半径为5且与x轴交于A(2,0)，B(10,0)两点； (2)圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)； (3)已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程． (1)(3)用待定系数法；(2)用直接法． 解　(1)设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25， 如图，|AB|＝10－2＝8， |AD|＝4. |AC|＝5，|CD|＝3. a＝6，b＝±3. 所求圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25或(x－6)2＋(y＋3)2＝25. (2)过P(3，－2)与直线l：x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与4x＋y＝0联立解得圆心坐标为(1，－4)， 所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (3)设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意解得或 圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.求圆的方程的两种方法 1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见典例(2)． 2．待定系数法 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．见典例(1)(3)． (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 冲关针对训练 (2017·甘肃模拟)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则ABC的外接圆的方程是(　　) A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5 C．(x－3)2＋y2＝5