2019届高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.5 椭圆学案 理.docVIP

8．5　椭圆 [知识梳理] 1．椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中ac0，且a，c为常数． 注：当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(ab0) ＋＝1(ab0) 图形 续表3．直线与椭圆位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ： (1)Δ0直线与椭圆相交； (2)Δ＝0直线与椭圆相切； (3)Δ0直线与椭圆相离． 4．弦长公式 (1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a. 5．必记结论 (1)设椭圆＋＝1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a. [诊断自测] 1．概念思辨 (1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　) (4)＋＝1(ab0)与＋＝1(ab0)的焦距相同．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．教材衍化 (1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是＋＝1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为(　　) A．10 B．20 C．2 D．4 答案　D 解析　因为a5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝.由椭圆的定义知ABF2的周长为4a＝4.故选D. (2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________． 答案　或 解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1， 所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x0，所以x＝， P点坐标为或. 3．小题热身 (1)(2014·大纲卷)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，c＝1，b2＝2，C的方程为＋＝1，故选A. (2)椭圆Γ：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足MF1F2＝2MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 答案　－1 解析　由已知得直线y＝(x＋c)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以MF1F2＝60°，则MF2F1＝30°，F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝c，由点M在椭圆Γ上知：c＋c＝2a，故e＝＝－1. 题型1　椭圆的定义及应用 　　已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 应用椭圆的定义． 答案　D 解析　根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，得|PF2|＝7，故选D. [条件探究]　若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且|OM|＝3”，求点P到椭圆左焦点的距离？ 解　由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得|PF2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF1|＝4. 　　(2018·漳浦县校级月考)椭圆＋y2＝1上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形． (1)求·的最大值与最小值； (2)设F1PF2＝θ，求证：SF1PF2＝tan. (1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明． 解　(1)设P(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)， 则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x