2019届高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线学案 理.docVIP

8．6　双曲线 [知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0： (1)当ac时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当ac时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a0，b0) －＝1(a0，b0) 图形 续表 3．必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线离心率e＝两条渐近线y＝±x相互垂直． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)双曲线方程－＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) (4)若双曲线－＝1(a0，b0)与－＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．教材衍化 (1)(选修A1－1P53T3)已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　) A．x＝±y B．y＝±x C．x＝±y D．y＝±x 答案　D 解析　由椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，得m＋1＝8－5.所以m＝2，所以双曲线方程为－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D. (2)(选修A1－1P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为________． 答案　 解析　因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝，即b＝2a.由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋4a2＝5a2，即＝5，所以e＝＝. 3．小题热身 (1)(2014·全国卷)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　) A. B．3 C.m D．3m 答案　A 解析　由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝ x，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A. (2)(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a0，b0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 答案　2 解析　由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c. 因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c， 又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去)． 题型1　双曲线的定义及应用 　　(2017·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 利用双曲线定义得到|PF|＋|PA|＝2a＋|PB|＋|PA|，再利用|PA|＋|PB|≥|AB|求出最小值． 答案　B 解析　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号． |PF|＋|PA|的最小值为9.故选B. 　　(2018·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C1：(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为________． 根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解． 答案　－y2＝1 解析　设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r＞2， 于是有或 ||CC1|－|CC2||＝4＜2＝|C1C2|，即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线， L的方程为－＝1， 即－y2＝1. 应用双曲线定义需注意的问题 在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在． 求双曲线方程时，注意用标准形式． 冲关针对训练 1．(2017·衡水模拟)已知ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右