2019届高考数学一轮复习 第9章 统计与统计案例 9.2 用样本估计总体学案 理.docVIP

9．2　用样本估计总体 [知识梳理] 1．用样本的频率分布估计总体分布 (1)频率分布：样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布． (2)作频率分布直方图的步骤：求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图． 在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1. (3)频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． 总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线． (4)茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便． 茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧． 2．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 (2)方差和标准差 方差和标准差反映了数据波动程度的大小． 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， 标准差： s＝ . (3)关于平均数、方差的有关性质 若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. (4)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差，方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 3．各种统计表的优点与不足[诊断自测] 1．概念思辨 (1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(　　) (2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(　　) (3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高．(　　) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．教材衍化 (1)(必修A3P70例题)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 答案　A 解析　这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96， 中位数是＝91.5， 平均数＝＝91.5.故选A. (2)(必修A3P82T7)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　) A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案　C 解析　由图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，故A错误；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错误；s＝2，s＝2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D错误．故选C. 3．小题热身 (1)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)． 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　) A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8 答案　C 解析　由茎叶图及已知得x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即＝16.8，解得y＝8，故选C. (2)(2018·济南调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，上图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________． 答案　12 解析　全体志愿者共有：＝50(人)， 所以第三组有