2019届高考数学一轮复习第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐标表示学案文.docVIP

4．2　平面向量基本定理及坐标表示 [知识梳理] 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝，|a＋b|＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab?x1y2－x2y1＝0. [诊断自测] 1．概念思辨 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　) (3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．教材衍化 (1)(必修A4P119T11)已知||＝1，||＝，，点C在线段AB上，AOC＝30°.设＝m＋n(m，nR)，则等于(　　) A. B．3 C. D. 答案　B 解析　依题意，以O为原点，OA、OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0，)，设C(x，y)，由＝m＋n得x＝m，y＝n，又AOC＝30°，知＝，故＝3，选B. (2)(必修A4P101A组T5)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________. 答案　－ 解析　解法一：由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．ma＋nb与a－2b共线，＝，即n－2m＝12m＋8n，＝－. 解法二：注意到向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而ma＋nb与a－2b共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有＝＝－. 3．小题热身 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)c，则λ＝(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，λ＝.故选B. (2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案　B 解析　设a＝k1e1＋k2e2， A选项，(3,2)＝(k2,2k2)，无解． B选项，(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)， 解之得 故B中的e1，e2可把a表示出来． 同理，C，D选项同A选项，无解．故选B. 题型1　平面向量基本定理及应用 　　(2015·北京高考)在ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________. 运用向量的线性运算对待求向量不断进行转化，直到用基底表示． 答案　　－ 解析　由＝2知M为AC上靠近C的三等分点，由＝，知N为BC的中点，作出草图如： 则有＝(＋)，所以M＝A－A＝(＋)－·＝－，又因为＝x＋y，所以x＝，y＝－. 应用平面向量基本定理的关键点 1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． 2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． 3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．如典例． 冲关针对训练 设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案　 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，＝λ1＋λ2，λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.题型2　平面向量共线的坐标表示及应用角度1　求点的坐标 　　已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________． 方程组法． 答案　(8，－15) 解析　设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，且＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)， 即解得 所以点P的坐标为(8，－15)． 角度2　研究点共线问题 　　(201