2019届高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用学案文.docVIP

4．3　平面向量的数量积及其应用 [知识梳理] 1．两个向量的夹角 2．平面向量的数量积 3．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cosθ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝. 特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别． (2)对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b0，所以a·b0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. (3)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c不一定成立．例如a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等． 又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a≠c. (4)两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而0·a＝0. (5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． (6)a·b中的“·”不能省略． [诊断自测] 1．概念辨析 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　) (3)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．(　　) (4)在△ABC中，A·B＝|A|·|B|cosB.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．教材衍化 (1)(必修A4 P108T3)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　) A．12 B．6 C．3 D．3 答案　B 解析　a·b＝－12＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选B. (2)(必修A4 P104例1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________． 答案　－2 解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cosθ＝4×cos120°＝－2. 3．小题热身 (1)(2017·包头质检)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案　A 解析　cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A. (2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________. 答案　2 解析　由题意知a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×＝1，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12. 所以|a＋2b|＝2. 题型1　平面向量数量积的运算 角度1　求数量积 　　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B. C. D. 本题可采用向量基底法、坐标法． 答案　B 解析　解法一：如图， ·＝(＋)·＝· ＝· ＝· ＝· ＝－·＋2 ＝－×1×1×cos60°＋×12＝.故选B. 解法二：建立平面直角坐标系，如图． 则B，C， A， 所以＝(1,0)． 易知DE＝AC，则EF＝AC＝， 因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为， 所以＝， 所以·＝·(1,0)＝.故选B. 方法技巧 求两个向量的数量积的两种方法 1．利用定义． 2．利用向量的坐标运算．如典例． 冲关针对训练 1．若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　) A.