2019届高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示学案文.docVIP

5．1　数列的概念与表示 [知识梳理] 1．数列的有关概念 2．数列的分类 3．数列{an}的an与Sn的关系 (1)数列的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)an＝ 特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A5P31T2)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　) A．21 B．33 C．152 D．153 答案　C 解析　代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C. (2)(必修A5P33T4)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列a5＝________. 答案　 解析　a1＝2，a2＝2＋＝，a3＝＋＝， a4＝＋＝，a5＝＋＝. 3．小题热身 (1)(2017·石家庄模拟)数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是(　　) A．an＝(－1)n＋1(nN*) B．an＝(－1)n－1(nN*) C．an＝(－1)n＋1(nN*) D．an＝(－1)n＋1(nN*) 答案　D 解析　由分子3,5,7,9归纳为2n＋1，由分母3,8,15,24归纳为n(n＋2)，奇数项为正，偶数项为负．故选D. (2)已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝1－(n≥3，nN*)，则a6＝________. 答案　 解析　由题意可得a3＝1－＝，a4＝1－＝1－＝，a6＝1－＝1－＝. 题型1　知数列前几项求通项公式 　　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)1,0，，0，，0，，0，…； (4)，1，，，…. 注意项与项数的关系，相邻项的变化关系；(－1)n在摆动数列中的应用；统一分式观察分子、分母间的关系． 解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，an＝. (3)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝. (4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1， 所以可得它的一个通项公式为an＝. 由数列的前几项求数列通项公式的策略 1．对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．如典例(4)． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如典例(1)． 冲关针对训练 (2017·青岛模拟)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ 答案　C 解析　代入进行验证可得选项C成立．故选C. 题型2　数列的周期性 　　在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(nN*)． (1)求a2018；(2)求S100. 本题采用累加法． 解　(1)由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(nN*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…. 由此可得a2018＝a336×6＋2＝a2＝5. (2)an＝an－1－an－2，an－1＝an－2－an－3，…，a3＝a2－a1这n－1个式子相加得： an＋an－1＋…＋a3＝an－1－a1， Sn＝an－1＋a2(nN*且n≥2)， S100＝a99＋a2 ＝a16×6＋3＋a2 ＝a3＋a2 ＝9. 数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期．