2019届高考数学一轮复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和学案文.docVIP

5．3　等比数列及其前n项和 [知识梳理] 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数，q≠0. (2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；可推广为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的相关性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，qN*. 特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，rN*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，公比为qk.当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列． (6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (7)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. [诊断自测] 1．概念思辨 (1)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (2)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) (3)在等比数列{an}中，如果m＋n＝2k(m，n，kN*)，那么am·an＝a.(　　) (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．教材衍化 (1)(必修A5P53T1)若等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，则公比q＝(　　) A．1 B．2 C．－2 D．4 答案　B 解析　由题意，得解得 故选B. (2)(必修A5P56例1)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________． 答案　127 解析　a5＝a1q4得q＝2， 所以S7＝＝127. 3．小题热身 (1)(2018·华师一附中联考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　) A．1 B．±1 C．2 D．±2 答案　A 解析　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1.故选A. (2)(2018·安徽芜湖联考)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 答案　C 解析　根据已知条件得÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C. 题型1　等比数列基本量的运算 　　(2017·广东惠州第二次调研)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 方程组法． 答案　D 解析　由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， q3＝－或q3＝－2. 当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6 ＝＋4×2＝－7； 当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6 ＝＋(－2)·(－2)2＝－7.故选D. 　　(2017·金凤区四模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝50，则S20等于(　　) A．90 B．250 C．210 D．850 方程思想即“知三求二”． 答案　D 解析　由题意数列的公比q≠1，设首项为a1，则 S5＝10，S10＝50， ＝10，＝50， 两式相除可得1＋q5＝5，q5＝4， ＝－， S20＝＝－·(1－256)＝850.故选D. 等比数列的基本运算方法及数学思想 1．等比数列的基本运算方法 (1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题． (2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，