随机利率 《金融数学》PPT教程教案.ppt

随机利率Stochastic interest rates ;随机利率 ;累积值 ;固定利率模型(fixed interest rate model)：初始利率将在第一年被确定，而随后的利率将被固定在这个利率水平之上。 例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，而相应的概率分别为0.2、0.5和0.3。利率一旦被确定，将在今后两年保持不变。 （1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。 （2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。;解： 两年末的累积值 AV2具有下述分布： ;变动利率模型(varying interest rate model)：各年的利率水平是相互独立的。 例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的概率分别为0.2、0.5和0.3。 （1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。 （2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。;解： AV2的完整分布如下：;(1) 两年末累积值的期望为： (2) 两年末累积值的二阶矩为：;因此累积值的方差为： ;从上述两例可以看出，固定利率模型中的期望累积值 (1.1069)要大于变动利率模型中的期望累积值 (1.1067)。 在固定利率模型中，当第一年的利率水平为最高的7%时，第二年的利率水平也固定在最高的7%。这可认为是对利率水平的有效分配，因为第一年末的累积值越高，第二年所应获得的利息收入就应越高，也就是说，当第一年末的累积值达到最高时，第二年的利率也应达到最高。 ;现值 ;如果已知所有时刻的利率的概率分布，就可以计算在时刻 0 的期望现值。 注意，虽然现值和累积值的乘积等于1，即 但这并不意味着期望累积值 和 期望现值会具有同样的代数关系。在一般情况下;例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的概率分别为0.2、0.5和0.3。利率一旦被确定，将在今后两年保持不变。请计算时刻2的单位1在时刻0的期望现值。 解：;在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故 可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。;独立同分布假设下的累积值和现值 ;例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的概率分别为0.2、0.5和0.3。试计算现在投资的单位1在时刻2的期望累积值。 解：未来的利率是独立同分布的，故期望值为： ;时刻2的期望累积值为： 结果与上例相同。显然，通过期望利率 来解 要方便得多。 ;设诸 it 的方差为 s2，即 ，则可以用 和 s2来表示累积值 AVn的方差。 累积值AVn的二阶原点矩为;随机利率 it 的方差 s2 为 故 it 的二阶原点矩为;将后式代入前式中，可以得到累积值 AVn 的二阶原点矩为：;因此，如果利率 it 是独立同分布的，则累积值 AVn 的方差可以表示为：;如果诸利率 it 是独立同分布的，则现值 PVn 的期望值可以表示为： 其中 ，t =1，2，…，n。 在通常情况下 ，即 。;注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明这一点。 例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的概率分别为0.2、0.5和0.3。 (1) 为了使得第2年末的期望累积值为1元，现在必须投资多少? (2) 在第2年末支付1元，它的期望现值是多少?;解：(1) 假设现在投资X，则第2年末的期望累积值为： 令第2年末的期望累积值为1元，则有： 解得 即：如果现在投资0.903584元，则第2年末的期望累积值为1元。;(2) 为了计算第2年末支付的1元的期望现值，首先计算 ：;接下来再计算期望现值 就十分方便了： 可见，在第2年末支付1元，它的期望现值是0.903905元。 显然，在第2年末1元期望累积值的现值，不等于第2年末支付1元的期望现值。;对数正态模型 ;假设 服从对数正态分布，且 具有如下的均值和方差： 则 的期望和方差分别为：;例：假设对时刻1和时刻2，有 ， 。进一步假设在各年的利率还是独立同分布的，且