2019届高考数学一轮复习第6章不等式6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案文.docVIP

6.2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [知识梳理] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 2．线性规划相关概念 3．重要结论 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． (2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有 当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； 当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个． 4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤 (1)作可行域； (2)将目标函数进行变形； (3)确定最优解； (4)求最值． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (2)不等式x2－y2＜0表示的平面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有y轴的两块区域．(　　) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　) (4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．教材衍化 (1)(必修A5P86T3)不等式组表示的平面区域是(　　) 答案　B 解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B. (2)(必修A5P93B组T1)若实数x，y满足 则不等式组表示区域的面积为________，z＝的取值范围是________． 答案　　(－∞，－2][1，＋∞) 解析　如图所示，不等式组表示区域面积为×1×3＝，z＝理解为区域上的点P(x，y)与点Q(1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，kAQ＝＝1，kOQ＝＝－2，结合图形分析知z＝的取值范围为(－∞，－2][1，＋∞)． 3．小题热身 (1)(2017·河北衡水中学五调)若不等式组 表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　) A．a≥ B．0＜a≤1 C．1≤a≤ D．0＜a≤1或a≥ 答案　D 解析　作出不等式组 表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D. (2)(2017·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为(　　) A. B．1 C. D．3 答案　D 解析　画出可行域，如图中阴影所示． 又目标函数z＝x＋y， 结合图象易知y＝－x＋z过(0,3)点时z取得最大值， 即zmax＝0＋3＝3.故选D. 题型1　二元一次不等式(组)表示的平面区域　　(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．3 D．6 画出直线x＋y－2＝0，观察线间的位置关系，然后用转化法解之． 答案　C 解析　由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C. [结论探究]　若典例条件不变，则平面区域的面积是________． 答案　6 解析　由得其交点坐标为(2,2)，交点到直线x＋y＝0的距离为d＝，故面积为××3＝6. 与平面区域有关的计算方法 1．画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标． 2．根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积．见典例的解法． 3．注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等． 冲关针对训练 (2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　) A．－3 B．1 C. D．3 答案　B 解析　如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1， 由 解得 即A(1－m,1＋m)． 由解得 即B，所围成的区域为ABC，则SABC＝SADC－SBDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝， 解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.题型2