2019届高考数学一轮总复习第六章数列题组训练37专题研究1递推数列的通项的求法理.docVIP

题组训练37 专题研究1 递推数列的通项的求法 1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第(　　)项．(　　) A．16　　　　　　　　　　 B．24 C．26 D．28 答案　C 解析　设题中数列{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C. 2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 答案　A 解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2 017等于(　　) A．2 017×2 018 B．2 016×2 017 C．2 015×2 016 D．2 017×2 017 答案　B 解析　累加法易知选B. 4．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于(　　) A．()n－1 B．()n C. D. 答案　D 解析　由关系式易知为首项为＝1，d＝的等差数列，＝，所以xn＝. 5．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　　) A．2－()n－1 B．()n－1－2 C．2－2n－1 D．2n－1 答案　A 解析　设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1，所以选A. 6．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，则这个数列的通项公式an＝(　　) A．2(n2＋n＋1) B．2·3n C．3·2n D．3n＋1 答案　B 解析　an＝Sn－Sn－1，可知选B. 7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，则a6的值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　因为正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an2＝an＋12＋an－12(n≥2)，所以an2－an－12＝an＋12－an2(n≥2)，所以数列{an2}是以1为首项，a22－a12＝3为公差的等差数列，所以an2＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a62＝16.又因为an0，所以a6＝4，故选B. 8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N*，an＋1＝an(1－an)，则a1 413－a1 314＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　根据递推公式计算得a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，可以归纳通项公式为：当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1 413－a1 314＝.故选D. 9．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n－1，则a2 016＝(　　) A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 答案　C 解析　因为a1＝2，故a2＋a1＝1，即a2＝－1.又因为an＋1＋an＝2n－1，an＋an－1＝2n－3，故an＋1－an－1＝2，所以a4－a2＝2，a6－a4＝2，a8－a6＝2，…，a2 016－a2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a2 016－a2＝2×1 007＝2 014，所以a2 006＝2 014－1＝2 013，故选C. 10．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________． 答案　4－ 解析　原递推式可化为an＋1＝an＋－， 则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－， a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－. 逐项相加，得an＝a1＋1－.又a1＝3，故an＝4－. 11．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝ 解析　由已知，可得当n≥1时，an＋1＝. 两边取倒数，得＝＝＋3. 即－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列． 则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2. 所以数列{an}的通项公式为an＝. 12．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________． 答案　2·3n－1－1 解析　设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t. ∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列． ∴an＝2·3n－1－1. 13．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，