沪教版九年级上册 24.3 相似三角形中的证明与计算 讲义.docx

主题相似三角形中的证明与计算教学内容学习目标：1．综合运用所学判定定理结合相似三角形的定义进行判定或计算；2．综合运用相似三角形的性质解决几何问题．互动（此环节设计时间在20－30分钟）相似三角形的判定定理：相似三角形的性质定理：回顾上次课的预习思考内容已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE．（1）求证：△EOD∽△BOC；（2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值．参考答案：（1）证明：在△BOE与△DOC中∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD∴△BOE∽△COD∴ 即又∵∠EOD＝∠BOC ∴△EOD∽△BOC(2) ∵△EOD∽△BOC∴∵S△EOD＝16，S△BOC＝36 ∴在△ODC与△EAC中∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE∴△ODC∽△AEC∴即∴问题1：上题中如何证明△ADE∽△ABC？参考答案：先证△ABD∽△ACE，再根据两边对于成比例且夹角相等即可。问题2：上题中共有多少对相似三角形？参考答案：8对精选例题：（此环节设计时间在40－50分钟）例题1：如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D的直线交边AC于点E，交BC的延长线于点F，求证： ．教学说明：此题考查三角形一边的平行线性质定理推论；注意讲解此类题作平行线的不同方法；证明：如图，过点C作CG∥AB，交DF于点G．∵CG∥AD，∴， 同理：， 又∵AD=BD，∴，∴∴试一试：如图，直线BD交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且，．求的值．参考答案：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，则有，又∵，∴设AF=7k，FB=3k，则AB=10k，于是AG=4k，GF=3k，∴．例题2：已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似．分析：△ADP与△QCP相似时，∠D=∠C=90°，分两种情况讨论解：∵正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点， ∴PD=PC=①当∠DPA=∠CPQ时，，即，解得CQ=1，∴；②当∠DPA=∠PQC时，，，解得，∴试一试：如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF = 3 FC，联结AE、AF、EF，图中是否存在与∠EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由．参考答案：图中存在与相等的角，分别是和由正方形ABCD得 ，∵E为BC中点，DF = 3 FC，∴，，∴在和中，∵且∴∽．∴，且在中∵，∴∴，∴，又∵，∴∽，∴同理．例题3：如图，已知在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：△FDC∽△FBD；（2）求证：．证明：（1）∵，∴∠ACD+∠DCB=∠B=∠DCB=90°∴∠ACD=∠B∵是的中点 ∴DE=EC∴∠ACD=∠FDC∴∠FCD=∠B∴△FDC∽△FBD(2) ∵△FDC∽△FBD ∴∵在和中，∴试一试：如图，梯形中，，，点在边上，与相交于点，且．求证：（1）∽；（2）．证明：（1）在梯形中，∵，∴∵，∴△∽△∴∵∴△∽△ 证明：（2）∵△∽△，∴∵∴△∽△∴∴∴例题4：如图所示，在直角梯形ABCD中，∥，点E在BC上，点F在AC上，（1）求证：∽；（2）当AD=8，DC=6，点E，F分别是BC，AC的中点时。求直角梯形ABCD的面积解：（1）在梯形ABCD中，∥∴∠DAF=∠ACE又∵∠DFC=∠AEB，∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠AEB=∠ACE+∠CAE∴∠ADF=∠CAE，∴∽（2）∵AD=8，DC=6，，∴AC=10，又∵F是AC的中点，∴AF=5，∵∽， ∴, ∴CE=.∵E是BC的中点， ∴BC=, ∴直角梯形ABCD的面积=（+8）6=课堂达标训练：此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。1．如图：四边形对角线与相交于点，，．（1）求证：∽；（2）点在线段上，若∥，求证：．证明：（1）∵，，∴. 又， ∴∽.（2）由（1）得：∽.∴.∵∥， ∴.∴.∵， ∴∽.∴.∴.2．如图，在矩形中，，，点是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点．（1）证明：△∽△；（2）设，，求与的函数关系式，并写出它的定义域；解：（1）∵矩形，， ∴题意 ∴∴ ∴△∽△（2）点在边上，据题意：又∵△∽△ ∴ ∴∴课堂回顾：（此环节设计时间在5－10分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾课后作业：【巩固练习】1．如图，在△ABC中，如果CE平分∠ACB，D在B