2019版高考数学一轮总复习第七章立体几何7.6空间向量的运算及应用课时跟踪检测理.docVIP

7.6 空间向量的运算及应用 [课 时 跟 踪 检 测]　 [基 础 达 标] 1．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A. B． C. D． 解析：a·b＝x＋2＝3，x＝1，b＝(1,1,2)． cos〈a，b〉＝＝＝. a与b的夹角为，故选D. 答案：D 2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C.a2 D．a2 解析：·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2. 答案：C 3．(2018届东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．± B． C．－ D．± 解析：＋λ＝(1，－λ，λ)， cos120°＝＝－，得λ＝±. 经检验λ＝不合题意，舍去，λ＝－. 答案：C 4．已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　) A.与 B．与 C.与 D．与 解析：因为PA平面ABCD，所以PACD，·＝0，排除D. 又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A. 答案：A 5．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A. B． C．1 D． 解析：＝＋＋， ||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 答案：D 6．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 解析：a＋b＝－c，a2＋b2＋2a·b＝c2. 又|a|＝2，|b|＝3，|c|＝， a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3. cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°. 答案：C 7．已知向量a＝，b＝(x,1,2)，其中x0.若a∥b，则x的值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．3 解析：解法一：因x＝8,2,3时都不满足ab. 而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，a∥b. 解法二：ab?存在λ0使a＝λb＝(λx，λ，2λ)?∴选B. 答案：B 8．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x，4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________． 解析：由题意知·＝0，||＝||，又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)， 解得x＝2. 答案：2 9.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则|MN|＝________. 解析：连接PD，M，N分别为CD，PC的中点，|MN|＝|PD|，又P(0,0,1)，D(0,1,0)， |PD|＝ ＝，|MN|＝. 答案： 10．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________． 解析：如图，设＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c， ＝－ ＝a－b＋c. 因此＝＋， ，，共面． 又VA?平面PMN，VA∥平面PMN. 答案：平行 11．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)令＝t(tR)， 所以＝＋ ＝＋t ＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2) ＝(－3＋t，－1－t,4－2t)， 若b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝. 因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为－，－，. 12.如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证： (1)A1B1⊥平面AA1C； (2)AB1平面A1C1C. 证明：二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形， AA1⊥平面ABC. 又AB＝AC，BC＝AB， CAB＝90°， 即CAAB， AB，AC，AA1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)． (