2019版高考数学一轮总复习第八章解析几何8.8曲线与方程课时跟踪检测理.docVIP

8.8 曲线与方程 [课 时 跟 踪 检 测]　 [基 础 达 标] 1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 解析：根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线，但不满足2c2a0的条件，故动点P的轨迹是一条射线． 答案：C 2．方程x＝ 所表示的曲线是(　　) A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分 解析：x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分． 答案：B 3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 4．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，当λ0时，动点M的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：设M(x，y)，则N(x,0)，所以2＝y2，λ·＝λ(x＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即x2＋＝1.又因为λ0，所以动点M的轨迹为双曲线． 答案：C 5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 解析：依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得 即代入＋＝1， 得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)． 答案：C 6．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是(　　) A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 解析：依题意，题中的方程等价于 ①x＋y－3＝0或② 注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，即②不表示任意图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0. 答案：D 7．已知A(－5,0)，B(5,0)，动点P满足||，||,8成等差数列，则点P的轨迹方程为________． 解析：由已知得||－||＝810＝|AB|， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥4)． 答案：－＝1(x≥4) 8．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________． 解析：设P(x，y)， 因为△MPN为直角三角形， 所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， 所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. 因为M，N，P不共线，所以x≠±2， 所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)． 答案：x2＋y2＝4(x≠±2) 9．已知椭圆E：＋＝1(ab0)的离心率为，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为. (1)求椭圆E的方程； (2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1,0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程． 解：(1)因为椭圆E的离心率为， 所以＝， 解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为＋＝1， 则椭圆E的左焦点坐标为(－b,0)， 过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b. 设直线l′与椭圆E的交点为A，B， 由消去y， 得3x2＋4bx＝0， 解得x1＝0，x2＝－. 因为|AB|＝|x1－x2|＝＝， 解得b＝1. 故椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)①当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程， 得消去y并整理， 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 因为直线l和椭圆E有且只有一个交点， 所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0， 化简并整理，得m2＝2k2＋1. 因为直线MQ与l垂直， 所以直线MQ的方程为y＝－(x－1)． 联立方程组 解得 所以x2＋y2＝＝＝＝， 把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*) ②当切线l的斜率为0时， 此时Q(1,1)或Q(1，－1)，符合(*)式． ③当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或Q(－，0)，符合(*)式． 综上所述，点Q的轨迹方程为x2＋y2＝2.