2019版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第3课时导数与函数的综合问题练习理北师大版.docVIP

第2讲　第3课时　导数与函数的综合问题 一、选择题 方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数是(　　) 解析　设f(x)＝x－6x＋9x－10(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0极小值为f(3)＝－10＜0所以方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数为1. 答案　 2.若存在正数x使2(x－a)＜1成立则实数a的取值范围是(　　) (－∞＋∞) .(－2＋∞) (0，＋∞) .(－1＋∞) 解析　∵2(x－a)＜1＞x－ 令f(x)＝x－(x)＝1＋2－xln＞0. (x)在(0＋∞)上单调递增 ∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1 ∴实数a的取值范围为(－1＋∞). 答案　 3.(2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导且满足f(x)－xf′(x)0则(　　) (1)f(3) B.3f(1)f(3) C.3f(1)＝f(3) .f(1)＝f(3) 解析　由于f(x)xf′(x)则＝恒成立因此在R上是单调递减函数，即3f(1)f(3). 答案　 4.(2017·德阳模拟)方程f(x)＝f′(x)的实数根x叫作函数f(x)的“新驻点”如果函数g(x)＝的“新驻点”为a那么a满足(　　) ＝1 .0a1 C.2a3 D.1a2 解析　∵g′(x)＝，∴ln x＝. 设h(x)＝－ 则h(x)在(0＋∞)上为增函数. 又∵h(1)＝－10(2)＝－＝－0， ∴h(x)在(1)上有零点 答案　 5.(2017·宝鸡联考)已知函数f(x)的定义域为[－1]，部分对应值如下表： x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)y＝f′(x)的图像如图所示.当1a2时函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　) 解析　根据导函数图像知2是函数的极小值点函数y＝f(x)的大致图像如图所示. 由于f(0)＝f(3)＝2所以y＝f(x)－a的零点个数为4. 答案　 二、填空题 已知函数y＝x－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点则c＝________. 解析　设f(x)＝x－3x＋c对f(x)求导可得(x)＝3x－3令f′(x)＝0可得x＝±1易知f(x)在(－∞－1)(1，＋∞)上单调递增在(－1)上单调递减若f(1)＝1－3＋c＝0可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0可得c＝－2. 答案　－2或2 若函数f(x)＝ax－在上单调递增则实数a的取值范围为________. 解析　由已知得f′(x)＝a－对?恒成立对?恒成立＝2 答案　[2＋∞) (2017·安徽江南名校联考)已知x∈(0)，若关于x的不等式恒成立则实数k的取值范围为________. 解析　依k＋2x－x 即kx－2x对任意x∈(0)恒成立从而k≥0 因此由原不等式得k＋x－2x恒成立. 令f(x)＝＋x－2x则f′(x)＝(x－1) 令f′(x)＝0得x＝1当x∈(1)时(x)0，函数(x)在(1)上单调递增当x∈(0)时(x)0，函数f(x)在(0)上单调递减所以kf(x)＝f(1)＝－1 故实数k的取值范围是[0－1). 答案　[0－1) 三、解答题 设函数f(x)＝(x＋1)(x＋1)若对所有的x≥0都有(x)≥ax成立求实数a的取值范围. 解　 令g(x)＝(x＋1)(x＋1)－ax则g′(x)＝(x＋1)＋1－a. 1)当a≤1时－a≥0(x＋1)≥0 ∴g′(x)≥0，∴g(x)在[0＋∞)上是增函数 ∴g(x)≥g(0)＝0 ∴当a≤1时(x＋1)(x＋1)≥ax对x≥0都成立. (2)当a1时令g′(x)＝0解得x＝－1－1. 当0x－1－1时(x)0；当x－1－1时(x)0， ∴g(x)在(0－1－1)上递减在(－1－1＋∞)上递增 ∴g(ea－1－1)g(0)＝0 ∴当a1时不是对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立. 综上由(1)(2)可知实数a的取值范围是(－∞]. 10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝－(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：不等式(x＋1)(x－1)对?(1，2)恒成立. (1)解　定义域为(0＋∞)(x)＝ ①a≤0时(x)0，f(x)在(0＋∞)上为增函数； 时(x)在(a＋∞)上为增函数在(0) 上为减函数. (2)证明　法一　∵x∈(1)，∴x＋10 ∴要证原不等式成立即证对?(1，2)恒成立令g(x)＝－ g′(x)＝(x)在(0＋∞)上为增函数 ∴当x∈(1)时(x)g(1)＝－＝0 ∴ln x对?(1，2)恒成立 ∴(x＋1)(x－1)对?(1，2)恒成立. 法二　令F(x)＝(x＋1)－2(x－1) F′(x)＝＋－2 ＝－ 令φ(x)＝－由(1)知a＝1时 φ(x)在(0)上为减函数在(1