2019版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题学案理北师大版.docVIP

高考专题突破一　高考中的导数应用问题 【考点自测】 1．若函数f(x)＝2sin x(x∈[0，π])的图像在点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　) A. B．2 C. D. 答案　A 解析　f′(x)＝2cos x∈[－2,2]， g′(x)＝＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)． 当两函数的切线平行时，xp＝0，xQ＝1. 即P(0,0)，Q，∴直线PQ的斜率为. 2．(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 答案　A 解析　函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函数f(x)的极值点，得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0. 所以x＝1是函数f(x)的极小值点． 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1. 故选A. 3．(2018·西宁质检)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减少的，则b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 答案　C 解析　由题意可知f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．由于g(x)＝x(x＋2)在(－1，＋∞)上是增加的且g(－1)＝－1，所以b≤－1.故选C. 4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝ . 答案　1－ln 2 解析　y＝ln x＋2的切线方程为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)． y＝ln(x＋1)的切线方程为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)， ∴ 解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 5．(2017·江苏)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 ． 答案　 解析　因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－ ＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)， 所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数． 因为f(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)． 因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2 ＝3x2≥0，当且仅当x＝0时“＝”成立， 所以f(x)在R上是增加的， 所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0， 所以－1≤a≤. 题型一　利用导数研究函数性质 例1 (2018·沈阳质检)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝－2a＝. 当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的； 当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)是减少的． 所以当a≤0时，函数g(x)的递增区间为(0，＋∞)； 当a＞0时，函数g(x)的递增区间为， 递减区间为. (2)由(1)知，f′(1)＝0. ①当a≤0时，f′(x)是增加的， 所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增加的， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意； ②当0＜a＜，即＞1时，由(1)知f′(x)在是增加的． 可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0， 当x∈时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(0,1)上是减少的，在上是增加的． 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意； ③当a＝，即＝1时，f′(x)在(0,1)上是增加的， 在(1，＋∞)上是减少的， 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)是减少的，不符合题意； ④当a＞，即0＜＜1时， 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增加的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的