2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线学案理北师大版.docVIP

§9.6　抛物线 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 抛物线的方程、简单性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题. 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与简单性质 标准方程 y2＝2px(p0) y2＝－2px(p0) x2＝2py(p0) x2＝－2py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识拓展 1．抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　) (4)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　) (5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　×　) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a.(　√　) 题组二　教材改编 2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________． 答案　y2＝－8x或x2＝－y 解析　设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)． 将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 题组三　易错自纠 4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 答案　B 解析　如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B. 5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 答案　D 解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D. 6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________． 答案　[－1,1] 解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1.  题型一　抛物线的定义及应用 典例 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 答案　4 解析　如图，过点