2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9第1课时直线与圆锥曲线学案理北师大版.docVIP

§9.9　圆锥曲线的综合问题 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想. 以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．题型主要以解答题形式出现，属于中高档题. 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ0直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0直线与圆锥曲线相切； ③Δ0直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题． 知识拓展 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　×　) (2)设点P(x0，y0)为双曲线－＝1上的任一点，则|x0|≥a.(　×　) (3)椭圆＋＝1上的点到焦点距离的最大值是a＋c.(　√　) (4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切．(　√　) (5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　×　) (6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p0)上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2＝－p2.(　√　) 题组二　教材改编 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　过(0,1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点． 3．已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________． 答案　4 解析　由题意可设直线l的方程为y＝m， 代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)， 所以x1＝＝2， x2＝－2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4， 即当m＝0时，|AB|有最小值4. 题组三　易错自纠 4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 答案　B 解析　设该抛物线的焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 |AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝32p＝2. 所以符合条件的直线有且只有两条． 5．(2018届江西省南昌市三模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________． 答案　 6．已知双曲线－＝1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　抛物线的准线方程为y＝－，焦点为F， ∴a2＋2＝c2.① 设抛物线的准线y＝－交双曲线于M，N两点，∴ 即－＝1，解得x＝±a， ∴2a＝2c.② 又∵b2＝c2－a2，③ ∴由