2019版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线练习理北师大版.docVIP

第讲　抛物线 一、选择题 (2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y＝4x的焦点曲线y＝(k0)与C交于点P轴则k＝(　　) B.1 C. D.2 解析　由题可知抛物线的焦点坐标为(1)， 由PF⊥x轴知＝2所以P点的坐标为(1). 代入曲线y＝(k0)得k＝2故选 答案　 2.点M(5)到抛物线y＝ax(a≠0)的准线的距离为6那么抛物线的方程是(　　) ＝12x＝12x或y＝－36x C.y＝－36x＝或y＝－ 解析　分两类a0可得y＝2，y＝－ 答案　 3.(2017·宜春诊断)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x)，Q(x2，y2)两点如果x＋x＝6则＝(　　) 解析　抛物线y＝4x的焦点为F(1)，准线方程为x＝－1.根据题意可得＝|PF|＋|QF|＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2＝8.故选 答案　 4.已知抛物线C：＝8x的焦点为F准线为l是l上一点是直线PF与C的一个交点.若＝4则|等于(　　) B. C.3 D.2 解析　＝4 ∴||＝4|＝ 如图过Q作QQ′⊥l垂足为Q′ 设l与x轴的交点为A 则|AF|＝4＝＝ ∴|QQ′|＝3根据抛物线定义可知＝|QF|＝3故选 答案　 5.(2017·衡水已知抛物线y＝4x过点P(4)的直线与抛物线相交于A(x)，B(x2，y2)两点则y＋y的最小值为(　　) B.24 C.16 D.32 解析　当直线的斜率不存在时其方程为x＝4 由得y＝－4＝4＋y＝32. 当直线的斜率存在时设其方程为y＝k(x－4) 由得ky－4y－16k＝0＋y＝＝－16＋y＝(y＋y)2－2y＝＋32＞32 综上可知＋y ∴y＋y的最小值为32.故选 答案　 二、填空题 (2016·兰州诊断)抛物线y＝－12x的准线与双曲线－＝的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________. 解析　由图可知弦长|AB|＝2三角形的高为3 ∴面积为S＝×3＝3 答案　3 (2017·安徽四校三联)过抛物线y＝4x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A两点则弦长|AB|为________ 解析　设A(x1)，B(x2，y2).易得抛物线的焦点是F(1)，所以直线AB的方程是y＝x－1联立消去y得x－6x＋1＝0所以x＋x＝6所以|AB|＝x＋x＋p＝6＋2＝8. 答案　8 (2017·江西九校联考)抛物线y＝2px(p0)的焦点为F其准线y2－x＝1相交于A两点若△ABF为等边三角形则p＝________. 解析　y＝2px的准线为x＝－由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A，又点A在双曲线y－x＝1上从而－＝1所以p＝2 答案　2 三、解答题 (2016·江苏卷)如图在平面直角坐标系xOy中已知直线l：x－y－2＝0抛物线C：y＝2px(p＞0). (1)若直线l过抛物线C的焦点求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存l对称的相异两点P和Q. 求证：线段PQ的中点坐标为(2－p－p)； 求p的取值范围. (1)解　∵l：x－y－2＝0与x轴的交点坐标为(2). 即抛物线的焦点为(2)，∴＝2＝4. 抛物线C的方程为y＝8x. (2)①证明　设点P(x)，Q(x2，y2). 则则 ＝＝ 又∵P关于l对称.∴k＝－1即y＋y＝－2p ∴＝－p又∵PQ的中点一定在l上 ∴＝＋2＝2－p. 线段PQ的中点坐标为(2－p－p). 解　∵PQ的中点为(2－p－p) ∴ 即 即关于y的方程y＋2py＋4p－4p＝0有两个不等实根.∴Δ＞0. 即(2p)－4(4p－4p)＞0解得0＜p＜ 故所求p的范围为 10.已知抛物线y＝2px(p0)的焦点为F(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点求证： (1)y＝－p＝； (2)＋为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明　(1)由已知得抛物线焦点，0). 由题意可设直线方程为x＝my＋代入y＝2px 得y＝2p(my＋)即y－2pmy－p＝0.(*) 则y是方程(*)的两个实数根 所以y＝－p 因为y＝2px＝2px所以y＝4p 所以x＝＝ (2)＋＝＋ ＝ 因为x＝＋x＝|AB|－p代入上式 得＋＝＝(定值). (3)设AB的中点为M(x)，分别过A作准线的垂线垂足为C过M作准线的垂线垂足为N 则|MN|＝(|AC|＋|BD| (|AF|＋)＝ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (2017·汉中模拟)已知抛物线y＝2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) －4 .4 C.p2 D.－p 解析　①若焦点弦AB⊥x轴则x＝x＝则x＝； 若焦点弦AB不垂直于x轴可设AB：y＝k(x－) 联立y＝2px得k－(k2＋2p)x＋＝0