2019版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性学案理北师大版.docVIP

§2.3　函数的奇偶性与周期性 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度. 1．奇函数、偶函数的概念 图像关于原点对称的函数叫作奇函数． 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数． 2．判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称． (2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)： 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数． 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． 知识拓展 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a0)． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(　×　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数．(　√　) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　√　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　) 题组二　教材改编 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________. 答案　－2 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f?＝______. 答案　1 解析　f?＝f?＝－4×2＋2＝1. 4．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________________________________________________________． 答案　(－2,0)∪(2,5] 解析　由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x－2时，f(x)0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三　易错自纠 5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a， ∴a＝，∴a＋b＝，故选B. 6．偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 答案　3 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图像关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3. 题型一　判断函数的奇偶性 典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， ∴f(x)＝＋＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝＝－f(x