2019版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用学案理北师大版.docVIP

§2.9　函数模型及其应用 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度. 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞)上的增减性 增加的 增加的 增加的 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax 知识拓展 1．解函数应用题的步骤 2．“对勾”函数 形如f(x)＝x＋(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上是增加的，在[－，0)和(0，]上是减少的． (2)当x0时，x＝时取最小值2， 当x0时，x＝－时取最大值－2. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　×　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　) (3)不存在x0，使logax0.(　×　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)的增长速度．(　√　) (5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　) 题组二　教材改编 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 答案　D 解析　由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误． 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件． 答案　18 解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 当x＝18时，L(x)有最大值． 4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ． 答案　3 解析　设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y， 则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18， ∴当x＝3时，y最大． 题组三　易错自纠 5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ． 答案　－1 解析　设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1. 6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只． 答案　200 解析　由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当x＝8时，y＝100log39＝200. 题型一　用函数图像刻画变化过程 1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是(　　) 答案　B 解析　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小