第1课时-利用二次函数的最值解决实际问题听课手册.docVIP

21.4　二次函数的应用第1课时　利用二次函数的最值解决实际问题　　 知|识|目|标通过对实际问题的分析根据几何图形中的数量关系建立二次函数模型会利用二次函数的性质解决几何图形中面积的最通过对经济交易中的数量关系的分析建立二次函数模型会利用二次函数的性质解决利润的最大值问题． 目标一　会利用二次函数求几何图形面积的最例1 教材补充例题为了节省材料某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边用总长为80 的围网在水库中围成了如图21－4－1所示的①②③三块矩形区域而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x 矩形区域ABCD的面积为y (1)求y与x之间的函数关系式并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时有最大值？最大值是多少？　　　 图21－4－1例2 教材补充例题2016·安徽如图21－－2二次函数y＝ax＋bx的图象经过点A(2)与(6，0)．(1)求a的值；(2)C是该二次函数图象上A两点之间的一动点横坐标为x(2＜x＜6)写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式并求S的最大值． 图21－4－2【归纳总结】利用二次函数求几何图形面积的最值(1)设图形的一边长为自变量所求面积为因变量；(2)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次函数模型并指明自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象与性质求在自变量取值范围内函数的最值．目标二　会利用二次函数求利润问题中的最值例3 教材补充例题某商场销售某种品牌的纯牛奶已知进价为每箱40元生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若以每箱50元销售平均每天可销售90箱．每箱价格每升高1元平均每天少销售3箱每箱价格每降低1元平均每天多销售3箱．(1)写出平均每天的销售量y(箱)与每箱售价(元)之间的函数表达式；(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数表达式；(3)求出(2)中当每箱牛奶的售价为多少时平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 【归纳总结】利用二次函数求最值的“四点注意”：(1)要把实际问题正确地转化为二次函数问题．(2)列函数表达式时要注意自变量的“取值范围”．(3)若图象不含顶点应根据函数的增减性来确定最值．(4)有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取． 知识点　利用二次函数的最值解决问题在实际问题中利用二次函数的性质求最值关键是由实际问题建立二次函数模型然后通过______得出函数的最值． 某养殖户利用如图21－4－3所示的直角墙角(两边足够长)用30 长的篱笆围成矩形猪舍ABCD而矩形猪舍ABCD又被分割成3个大小相同的较小的矩形猪舍．设AB＝x ．若猪舍ABCD内设置一个监控点P与墙CD的距离分别是6 和10 求猪舍ABCD的最大面积．小林同学作出根据题意矩形ABCD＝x(30－x)＝－(x－15)＋75故猪舍ABCD的最大面积为75 你认为他的解答正确吗？若不正确请说明理由并给出正确的解答过程． 图21－4－3 【目标突破】例1　解：(1)方法一：设AE＝a ．由题意得AE·AD＝2BE·BC＝BC所以BE＝a＝a.由题意得2x＋3a＋2×a＝80所以a＝20－x所以y＝AB·BC＝a·x＝x即y＝－x＋其中0x40.方法二：根据题意得CF·x＝＝＝＝所以2x＋2×＋3×＝80整理得y＝－x＋30x其中0＜x＜40.(2)y＝－x＋30x＝－(x－20)＋300由于－＜0所以抛物线开口向下．又因为0＜x＜40所以当x＝20时取得最大值最大值为300.例2　[解析] (1)把点A与点B的坐标代入二次函数表达式求出a与b的值即可；(2)过点A作x轴的垂线垂足为D(2)，连接CD过点C作CE⊥AD轴垂足分别为E分别表示出△OADBCD的面积之和即为S确定出S关于x的函数表达式并求出x的范围利用二次函数的性质即可确定出S的最大值以及此时x的值．解：(1)将A(2)与B(6)代入y＝ax＋bx得解得(2)如图过点A作x轴的垂线垂足为D(2)，连接CD过点C作CEAD，CF⊥x轴垂足分别为E S△OAD＝OD·AD＝×＝4＝AD·CE＝×(x－2)＝2x－4＝BD·CF＝×4×＝－x＋6x则S＝SOAD＋S＋S＝4＋2x－－x＋6x＝－x＋8x关于x的函数表达式为S＝－x＋8x(2＜x＜6)．＝－x＋8x＝－(x－4)＋16当x＝4时四边形OACB的面积S有最大值最大值为16.例3　解：(1)当40≤x≤50时每箱降价(50－x)元因而可多售出3(50－x)箱＝90＋3(50－x)＝－3x＋240.当50＜x≤70时每箱涨价(x－50)元因而少售出3(x－50)箱＝90－3(x－50)＝－3x＋240.因此当40≤x≤70时＝－3x＋240