第33计 导数开门 腾龙起凤-跳出题海我有36计之高中数学破题之道（解析版）.doc

跳出题海，我有36计 第33计 导数开门 腾龙起凤 【计名释义】 导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向. 近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向 【典例示范】 【例1】已知函数 1）当时，求在处的切线方程； 2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 求其导函数，利用导函数的正负判断函数在区间上的单调性，进而求其最小值。故。 详解：（1） 在处的切线方程为，即 （2） 在上单调递减 在上恒成立即在上恒成立记 恒成立，且显然不是常数函数. 在上单调递减 实数的取值范围是. 点睛：（1）导函数的几何意义是某点处的导函数值是该点处切线的斜率； （2）函数在某区间上单调递减（递增），可转化该函数的导函数在该区间上恒小于等于（大于等于）0. 设函数且为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 详解： （1），， . ①当时，； ②当时，或. 综上:①当时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时， ，[来源:学*科*网Z*X*X*K] 即函数在上为减函数， ， ， 令， . 当时，为减函数； 当时，为增函数. 的最小值为. ∴， 所以的取值范围是. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 1．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：函数有两个极值点，等价于有两个根，换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系求解即可. 详解： ， ， 有两个极值点， 有两个根， 设，则关于的方程有两个正根， 可得， 实数的取值范围是，故选B.[来源:学§科§网] 点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有三个：一是对于发方程的解为不做限制的题型可以直接运用判别式解答；二是已知根的符号，根据韦达定理结合判别式列不等式组求解；三是方程的解在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答. 2．若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 在,单调递增； 在,单调递减. 且. 有. 根据题意可得：，解得. 故选A. 点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 3．若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 ） A. B. C. D. 【答案】A f（x）=ax2+3x﹣lnx，=2ax+3﹣=1有正根 2ax2+2x﹣1=0有正根 2a=﹣=（﹣1）2﹣1 2a≥﹣1，a≥﹣． 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根 ，最后分 离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用. 4．已知是定义在上的函数，其导函数满足（，为自然对数的底数），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力． 解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了. 5．己知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】分析：转化为函数在定义域内有极值点，即导函数在定义域内有奇次零点，分离参数，即求函数的值域，要注意函数g(x)的渐近线。 点睛：函数单调性的应用 (1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。 (