第一章 1.1.2 第2课时3180.docx

第2课时　余弦定理的综合应用学习目标　1.熟练掌握余弦定理及其推论.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.知识点一　余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝，cosB＝，cosC＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2a2＋b2?C为钝角；c2a2＋b2?C为锐角.梳理　已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0，1，2，具体判断方法如下：设在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理＝，可求得sinB＝.(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且ab时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当aCD时，无解；②当a＝CD时，一解；③当CDab时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个.④当a≥b时，一解.(4)如果ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一.知识点二　判断三角形的形状思考1　三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？答案　不需要.如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cosC的正负.而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说.思考2　△ABC中，sin2A＝sin2B.则A，B一定相等吗？答案　∵A，B∈(0，π)，∴2A，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.梳理　判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.知识点三　证明三角形中的恒等式思考　前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案　由余弦定理得a＝b，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.梳理　证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异.1.已知两边和其中一边的对角，解三角形时只能用正弦定理.(　×　)2.已知两角和一边，求其他角和边不能用余弦定理.(　√　)3.在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC为锐角三角形.(　×　)类型一　利用正、余弦定理解三角形例1　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.解　在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，∴142＝102＋x2－2×10·xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，＝，∴BC＝＝8.反思与感悟　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.解　∵acb，∴A为最大角.由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝－.又∵0°A180°，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝.由正弦定理，得sinC＝＝＝.∴最大角A为120°，sinC＝.类型二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明　方法一　(1)由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，R为△ABC的外接圆半径，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二　(1)由余弦定理，得cosB＝，cosC＝，∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.反