解析几何解题小论文精选：直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略.docVIP

直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略 本文通过几个经典的例题说明线与圆锥曲线综合题的合理消参策略. 例题1 已知椭圆，过且斜率为的直线交椭圆于，在椭圆上，且满足.求的值. 解法1: 直接求解法，适合于消参后的一元二次方程的根比较好解的情况，注意利用乘法公式化简 过且斜率为的直线为，代入椭圆方程中，消去并整理得: ，解得，，注意到， 可得，即. 设，则， ∴，， 又∵，∴， 去分母得: ， 展开整理得: ，∴. 解法2: 利用一元二次的方程的根与系数关系，注意利用整体代入. 过且斜率为的直线为，代入椭圆方程中，消去并整理得: ， 设，则， ∴，，又∵， ∴， 整理得: ， 注意到，于是上式化为，即. 又，， ∴， ∴，∴，∴. 解法3: 转化结论，间接求解，就是求出直线上两个点的坐标即可，一般不用此法，但对于本题，却是非常简单，就是充分利用题目的特殊性. 设，又，于是，即， ∴，又，在椭圆上，于是 即 消去得: ， ∴.即，又， ∴． 　例题2 双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线. (1)求双曲线的方程. (2)过点的直线交双曲线于、两点，交轴于点（点与的顶点不重合）. 当，且时，求点的坐标. 解:(1)设双曲线方程为(). 由题意: ，，∴，. ∴双曲线的方程为. 解法一：构造关于参数的一元二次方程 由题意知直线的斜率存在且不为零. 设直线的方程为:，则可求. 设，， ∵， ，， ∴ ∴ ∵ )在双曲线上， ∴ ， ∴ . 同理有: 若，则， 过顶点，不合题意， ∴， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴ ，∴，验知， ∴， ∴ 所求点的坐标是. 仔细分析上面的解法，我们发现本题中涉及7个未知数，它们是: . 上面的解法先把作为一组，构建关于的一元二次方程，再把作为一组，构建关于的一元二次方程，由于这两个运算过程完全相同， 两个一元二次方程也完全相同，因此，是同一个一元二次方程的两个根，然后就可以利用一元二次方程的根与系数的关系了. 解法二：利用根与系数的关系 把代入双曲线的方程为并整理得： ， 当时，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，故 ∴，. 由已知 ， (1) ， (2) 又， 故由(1)得: ， 由(2)得: ， ∴ ， 解得：，验知， ∴，∴所求Q点的坐标是(2，0)． 解法三：利用根与系数的关系，但是考虑结论中涉及到的怎样用表示，解法二可以演变为下面的解法： ， 然后把，， 代入上式化简得: ，解得：，验知， ∴， ∴所求Q点的坐标是(2，0) 　例题３　　已知椭圆的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点． （１）求椭圆的方程； （２）设、是椭圆上的不同两点，点，且满足，若，求直线的斜率的取值范围．　 解法１　，、、三点共线，而， 且直线的斜率一定存在，所以设的方程为， 与椭圆的方程联立得， 由，得． 设，， 又由得， ， 把③代入①②得， 消去得： ， 当时，是减函数， ， ， 解得，又，所以， 的取值范围是. 解法２　设，，则 又，，则 由得得 代入得， 由得，联立⑤消去得： ， 这实际上是关于的一元一次方程，解得：， 而，， 把代入上并化简得， 令，则在是减函数，且， 而在是减函数， 当时，，当时，， 的取值范围是.