解析几何解题小论文精选：双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明.docVIP

双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明 （一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长 证法一（坐标法）：设双曲线焦点为， 一条渐近线为即， 到的距离为 证法二（几何法）：过实轴端点A作实轴垂线AD交渐近线于点D， 则，又， 所以到的距离。 （等腰三角形两腰上的高相等） （二）双曲线中，PT平分焦点△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 证：延长H到M，交PF于M，则，又，∴ 又H、O为MF、F1F2中点， ∴OH ∴ （三）设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2的内切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 证：设切于点与切于M，PF2切于N ∵ ∴ 又 ∴∴重合或直线上. （四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切). 证明：以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1；以MF1为直径的圆的半径为r2，圆心为O2， 由双曲线定义知 ∴， ∴圆O1与圆O外切 又 ∴， ∴圆O2与圆O内切 （五）双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 证：设交点 　，， ∴ 又，　　即 （六）若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 证：， 切线方程 （七）若在双曲线外 ，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 证：设则过切线分别为， 在上　∴， ∴过方程 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则. 证：设，则 又∴ （九）若在双曲线内，则过P0的弦中点的轨迹方程是. 证：设弦与双曲线交于，中点 即 （十）过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 证：设两直线与双曲线交于点则 由题意得①＝－② ∴ 展开　③－④ （十一）双曲线的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上异于顶点任意一点，则双曲线的焦点三角形的面积为； . 证：设， （十二）若P为双曲线右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）. 证明：设P在左支，， 　　① 　　②由①②得： 同理，P在支， 上存在两点关于直线：对称的充要条件是. 证明：该问题等价于在双曲线找两点，过这两点直线，斜率为， 其中垂线为，则 设方程为　　代入， 得 ，中点为， 则可以写成代入 得，即 其中代入①，得 （十四）已知双曲线，A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或. 证明：设A为，B为，由点差法得：　　① 又有：由①得∴ 显然或 （十五）双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则 证明：由角平分线性质得 （十六）已知双曲线和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│. 证明：设直线方程为，代入双曲线方程 视作的特殊情况 弦中点坐标与无关 ∴与无关∴、的中点同为T且∴