非线性物理--混沌_mod.docVIP

非线性物理——混沌 引言 非线性是在自然界广泛存在自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支，混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等[1]。 要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌现象自治电路至少满足以下三个条件[2]：1）有一个非线性元件，2）有一个用于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图1所示的蔡氏电路（Chuas circuit）[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍棠（Leon O. Chua）教授于1983年提出并实现。近年来，非线性电路的研究领域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注。如Chen氏电路[6]、Colpitts振荡电路[7]、基于SETMOS的细胞神经网络结构的蔡氏电路[8]，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。 在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻R（方程中以G=1/R做参数，以下用G来表示）、电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr的运行状态可以用以下方程组来描述： (1) 其中U1为C1（负阻Nr）两端的电压，U2为C2（或L）两端的电压，IL为通过L的电流，g为非线性负阻的I-V特性函数，其表达式为： (2) 式中各参数和变量的具体意义间图3。从g(U)的表达式看出，g(U)分三段，且每段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称，可以一并求解。 图1：蔡氏电路示意图 U1、U2、IL构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为。混沌实验仪中一般演示X点的轨迹在U1-U2平面的二维投影，可用双踪示波器的X-Y模式来观察，即常说的李萨如图形。 在每个区间内，方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程： (3) 其中X(t)、b为三维矢量，A为三阶矩阵。方程(3)时的解即为相空间的不动点XQ，。原方程组的解即可写为线性齐次方程的通解与不动点特解XQ的和。方程(3)的本征值方程为|λI-A|=0，若A存在三个本征值λ1、λ2、λ3，齐次方程的解即为： (4) 其中ξi为λi对应的本征向量，ci由初始状态X0决定。 在有些情况下，A有一个实本征值γ和一对共轭的复本征值σ±iω，方程的解可以写成： (5) 式中ξγ是实本征值对应的本征向量，ηr±iηi是共轭的复本征值对应的本征向量。fc、cr、cc由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为： (6) 我们把实本征向量ξγ方向标记为Er，把ηr和ηi张成的平面记为Ec。齐次方程解的独立分量xr(t)在Er方向，xc(t)在平面Ec内。方程的解随着时间演化具有如下性质：如果γ0，xr(t)指数衰减到0；如果γ0，xr(t)沿着Er方向指数增长。由此可见，对于任何一条相轨迹X(t)，Er方向上的分量恒正或恒负，所以它始终都无法穿越Ec平面（图1、2）。如果σ0且ω≠0，则xc(t)在Ec平面内螺旋离开不动点XQ；若σ0，xc(t)在Ec平面内螺旋收缩到不动点XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。 非线性负阻的结构[9]如图2所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算放大器集成电路FL353N）和6个定值电阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）构成，输入电源±15V。理想的非线性负阻具有如图3所示的I-V特性，被±E拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数，分段函数的斜率依次为Gb、Ga、Gb，且满足GaGb0。由运算放大器电路的参数可计算[12]出Ga=-1/R1-1/R4=(-7.6±0.1)×10-4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09 ±0.06)×10-4Ω-1。 图2：非线性负阻的内部结构 图3：理想非线性负阻I-V特性（示意图） 图4：外部信号扫描测量I-V特性电路图 在电路中接入一个r=100Ω的电阻非线性负阻两端的电压U1仍在CH1端测量，CH2端输出的I-V曲线，实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器I-V曲线。 比较上述两种方法得到的I-V曲线的异同，并讨论原因。 分析第二种方法得到的结果，并解释相图和I-V曲线之间的关联。 图：内置信号扫描测量I-V特性电路图 采用四阶Runge-Kutta法求解方程组（1），画出各种相图。 Runge-Kutta法？G调制和C调制有什么不同？James