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优质课教学 湘教版八年级数学下册 第一章 因式分解 一、前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. * * 回顾与思考 主讲教师：党安祥 （1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. （一）讨论推导本章知识结构图 请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? 很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢? 因 式 分 解 下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. 如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2） 把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. 学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? 提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c） a2－b2=(a+b)(a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2 二、例题讲解 ［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由. （1）x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2 （3）(3x－2)(2x+1)=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a(2b+c) 分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是. 解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法. （2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解. 将下列各式分解因式. （1）8a4b3－4a3b4+2a2b5; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3; （3）9(x+y)2－4(x－y)2; 解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5 =2a2b3(4a2－2ab+b2); （2）－9ab+18a2b2－27a3b3 =－(9ab－18a2b2+27a3b3) =－9ab（1－2ab+3a2b2）; （3）9(x+y)2－4(x－y)2 =［3(x+y)］2－［2(x－y)］2 =［3(x+y)+2(x－y)］［3(x+y)－2(x－y)］ =(3x+3y+2x－2y)(3x+3y－2x+2y) =(5x+y)(x+5y); 把下列各式分解因式: （1）x7y3－x3y3; （2）16x4－72x2y2+81y4; 解:（1）x7y3－x3y3 =x3y3(x4－1) =x3y3(x2+1)(x2－1) =x3y3(x2+1)(x+1)(x－1) （2）16x4－72x2y2+81y4 =（4x2）2－2＊4x2·9y2+(9y2)2 =(4x2－9y2)2 =[(2x+3y)(2x－3y)]2 =(2x+3y)2(2x－3y)2. 从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 分解因式的一般步骤为: