《工程数学经典学习课件》波动方程2.pptVIP

*/16 波动方程的级数解 弦振动问题与波动方程 波动方程求解的分离变量法 固有值和固有函数 波动方程的级数解 ? ? ? ? 弦的横向振动问题 一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端 沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 l 处，受到扰动，开 始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各 点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移 函数 u(x,t) 所满足的规律 . O l x u O l x u 设细弦上各点线密度为ρ, 细弦上质点之间相互作用力为张力T(x，t) 水平合力为零 ? 铅直合力: F=m a ? x T1 T2 O x x+dx ds u ? 其中 一维波动方程: utt = a2 uxx 考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t) ? utt= a2 uxx 弦振动问题微分方程 u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=l=0 u(x,t)|t=0= ? (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 边界条件——边界状态, 初始条件——历史状态: 定解条件 思考与讨论 弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？ 波动方程求解的分离变量法 付里叶1768～1830 分离变量法. 设 u( x, t )=T(t)·X(x) ? utt = a2 uxx ? T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x) 常微分方程 ? 固有值问题: 思考与讨论: 偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法有何不同? 边界条件: X(0) = 0 X(l ) = 0 T(t)·X(0)=0 T(t)·X(l )=0 ? 确定非零函数 X(x) 和数 解 的二次方程: ? A =0, B =0, 问题只有零解. 二阶线性方程组系数矩阵行列式 (1) 通解: ? 边界条件: ? (2) 通解: X(x) = Ax + B 边界条件? A = B = 0 问题只有零解 (3) B = 0 A l + B = 0 通解: 边界条件: ( n=1,2,··· ) ? ? ? 固有函数: 固有值: ( n=1,2,··· ) 系数矩阵行列式为零 ? 代入方程 通解: 弦振动方程的基本解: un(x, t) = Tn(t) Xn(x) 叠加原理 ? 方程初始条件 : (固有值问题边界条件) 固有函数 正交性证明 例 求解波动方程初边值问题 固有值: ( n=1,2,··· ) 解函数: 固有函数: ( n=1,2,··· ) */16