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江西蓝天学院 高等数学（一）第一、二章复习题 第一章 函数及其图形 1、本章学习要求 应了解的内容 集合的概念，集合的运算，映射的概念，映射的定义域、值域的概念，经济学中常用函数：需求函数，供给函数，总收益函数。 应熟悉的内容 区间、邻域的概念，分段函数的概念，函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的概念。 应掌握的内容 复合函数，反函数，基本初等函数及其定义域、图形特征和简单的性质。 2、本章重点难点分析 复合函数的关键是搞清楚两个函数能复合的条件：函数与函数能复合的条件是的值域包含在的定义域内。 基本初等函数共有15个：，，，，，，， ，，，，，，，。这些函数的定义域、值域、图形必须记清楚。初等函数就是由这15个基本初等函数通过有限次的四则运算和有限次的复合得到的函数。分段函数要注意各段函数的定义域的取值范围。 第二章 极限与连续 1﹑本章学习要求 （1）应了解的内容 函数极限的定义，函数的左、右极限的概念，连续函数的定义。无穷大量和无穷小量的概念及无穷小的阶的比较。 （2）应熟悉的内容 极限存在的两个准则，函数的三种间断点，闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最大（最小）值定理、中间值定理和零点存在定理。 （3）应掌握的内容 数列和函数极限的运算法则，两个重要极限。 几个常用的等价无穷小：当时，～～，～～，～，～，～，～ (当趋于0时) 2﹑本章重点难点分析 运用极限的运算法则时，要注意每个因子的极限都要存在（且分母极限不能为零）时才能运用。 运用两个重要极限时，要注意它们的变形形式。 函数在点的连续性可用函数在点的左、右极限是否相等来判断。 运用闭区间上连续函数的定理时，要注意它们成立的条件，这些定理在开区间上是不成立的。 典型例题分析 例1．函数的定义域是( ) 且 以上均不正确 分析：函数的定义域是使函数（因变量）有定义的自变量取值全体组成集合．本题中含分式函数与根式． 定义域为，即．应选B． 例2．设函数，则在内为( ) 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 以上均不对 分析：因定义域关于原点对称，且 故为偶函数．应选B． 例3．设，则在内为( ) 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 以上均不对 分析：因， 故为奇函数．应选A．或因为奇函数，为偶函数，故其乘积应为奇函数也得到同样结论 例4．若 求，． 分析：求分段函数的值关键在确定自变量属于定义区间中的哪一部分区间 解：因，故， 而 ， 故． 例5．设，求，． 分析：这是函数的复合运算，注意确定中间变量与复合结构． 　　　即求．而． 解：， 注意其定义域满足， 因之定义域为，之定义域为． 例6．设求及，问是否存在？ 分析：分段函数在分段点是否存在极限，应讨论其在分段点的左右极限是否存在且相等. 解：左极限， 右极限， 因，故不存在 例7． . 分析：这里要用到函数和与乘积的极限运算法则. 原式. 例8． 分析：这里要用到商的极限运算法则.注意本题是“”型的待定型.要把无穷大量用恒等变形化为无穷小量再运算. 原式. 例9.求极限 分析：本题属于“”型待定型极限，应恒等变形后用第一个重要极限来解决. 解：原式. 例10．求极限。 分析：本题属于“”型待定型极限，应恒等变形后用第二个重要极限来解决. 解：原式 . 例11．当时，下列变量中是无穷小量的为（ ） . . . . 分析：由无穷小量定义需考查各个函数当时的极限是否为零. 事实上，，故当时， 为无穷小，应选。 另外，，，， 说明均不对。 例12. 函数的间断点是 分析：处函数无定义，故在处间断.在其他区间 上函数是初等函数，是连续的． 例13．函数的连续区间是 分析：初等函数在定义区间上均连续.故只需确定的定义区间.事实上，的定义区间为，即或.例14．设，在连续，求的值。 分析：分段函数在分段点处的连续性要用连续的定义来讨论，由此可确定待定常数。 解：由已知应在处连续，由定义应有 ， 即 故。 一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题干后的括号内。错选、多选或未选均无分。每小题3分，共30分） 1、已知函数的定义域为，则的定义域为 【 】 A. B. C. D. 2、点的邻域是指点集