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6.2离散序列的相关函数 第6章 功率谱估计 ? 离散随机序列的特征描述 ? 平稳随机序列通过LTI系统 ? 经典功率谱估计 ? 现代功率谱估计 6.1 离散随机序列的特征描述 ? 随机过程的分布函数 ? 随机信号的数字特征 ? 平稳各态遍历随机信号的时域描述 ? 平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度） 一、 随机过程的分布函数 {X[k], k?Z}表示一个随机过程 一维分布函数 F(x,k)?P(X[k]?x) 二维分布函数 F(x1,x2;k1,k2)?P(X[k1]?x1,X[k2]?x2)N 维分布函数 F(x1,x2,?,xN;k1,k2,?kN) ?P(X[k1]?x1,?X[kN]?xN) 二、随机信号的数字特征 均值 mx[k]?E{X[k]} 方差 ?2k]?E{(X[k]?m222 x[x[k])}?E{X[k]}?mx[k] 自相关函数 Rx[k1,k2]?E{X[k1]X[k2]} 互相关函数 Rxy[k1,k2]?E{X[k1]Y[k2]} 三、平稳各态遍历随机信号的时域描述 1 平稳随机序列 指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列 严平稳随机序列： F(x1,x2,?,xN;k1,k2,?kN)?F(x1,x2,?,xN;k1?n,k2?n,?kN?n) 宽平稳随机序列： E{X[k]}?mx E{X[k]X[k?n]}?Rx[n] 平稳随机信号自相关函数特性 （1） 对称性 Rx[n]?Rx[?n] R*x[n]?Rx[?n] （2）极限值 n?0 R2 x[0]?E{X[k]} n?? Rx[?]?m2x （3）不等式 Rx[0]?Rx[n] 2. 各态遍历随机信号 集平均等于时间平均 N mx?E{X[k]}?lim1x[k]N??2N?1? k??N ?2 x?E{[X[k]?m1N x]2}?lim[x[k]?m2 N??2N?1?x] k??N R1N x[n]??E{X[k]X[k?n]}?lim?x[k]x[k?n] N??2N?1k??N 四、平稳各态遍历随机信号的频域描述 功率谱密度 Px(?)?limE[1)2] N??2N?1FX(?,N 维纳——辛钦公式 ? Px(?)??Rx(n)e?j?n n??? Rn)?1?ej?n x(2????Px(?)d? 当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和 功率谱密度是一对傅里叶变换对。 6.2 平稳随机序列通过LTI离散时间系统 ? 输出序列的均值 ? 输出序列的自相关函数 ? 输出序列的功率谱 ? 输入/输出序列的互相关函数及互功率谱 平稳随机序列通过LTI系统 一、输出序列的均值 my[k]? E{y[k]}??nh[n]E{x[k?n]}?mx?h[n] nH(ej0) j0 my[k]?mxH(e) 二、输出序列的自相关函数 Ry[n]?Rh[n]?Rx[n] Ry[n]是系统单位脉冲响应h[k]的自相关函数Rh[n]与输入随机序列X[k] 的自相关函数Rx[n]的卷积. 系统单位脉冲响应h[k]是确定信号，其自相关函数定义为 ?DTFT{Rh[n]}?DTFT{Rx[n]} 三、输出序列的功率谱 Py(?)? DTFT{Ry[n]}?DTFT{Rh[n]?Rx[n]} (?) 四、输入/输出序列的互相关函数及互功率谱互相关 Ryx[n]?E{Y[k]X[k?n]}?h[?n]?Rx[n] Rxy[n]?E{x[k]y[n?k]}?h[n]*Rx[n] 互功率谱 Pxy(?)?DTFT{Rxy[n]}?H(ej?)Px(?) PDTFT{Rej? yx(?)?yx[n]}?H*()Px(?) [例]一离散时间平稳白噪声通过一阶IIR数字滤波器 y[k]?x[k]??y[k?1]??1 求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。 零均