一元导数应用题--最值问题.doc

一元函数导数应用题----最大值问题 1、如图，在教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方米和米，若已知，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？ A B a b P H 解：设------------------------------------1 -------------------------------2 令------------------------------------------------------2 得，且该唯一驻点是的极大点------------------------------------------1 故时，最大，----------------------------------------------------------------1 注意到，因此也取到最大.-------------------------------------------------1 2、如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB(km), CB(km)，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为(km)． （1）设OP(km) ，将表示成的函数关系式； （2）确定，使三条排污管道总长度最短． 解：（1）若OP(km) ， 则O 到AB之距为OQ，---------------------------------------------------------1 有OA =OB=----------------------------1 所求函数关系式为-----------------------2 （2）令，----------------------------------------------2 得唯一驻点(km)，由实际背景知，此即为的最小点-------------------------1 故当(km)时，可使三条排污管道总长度最短．----------------------------------1 3、为了向宽为64 m的河修建一条垂直的运河通道，以通过长为125 m的船只（船只的宽不计），问航道至少开挖多宽方可使船只通过？ 解：设航道宽度为，船只长度方向与航道宽度方向成-------------1 则-------------------------------------------------------------------------3 令，得唯一驻点---------------------------3 根据问题的实际背景，航道宽度的最小值必在内取得， 则 为最小值点，．-----------------------------------------------1 4、欲设计一容积为的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，若圆柱侧面的单位面积造价是其下底面单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面单位面积造价的一半，现设圆柱的高为，圆柱的底面半径为，当储油罐的总造价最低时，求. 解：由题意知，，得 设下底面单位面积的造价为，则总造价为 令得，又 故当储油罐的下部圆柱的底面半径时，总造价最低，此时． 5、冬季越野跑在湖滨举行，场地情况如图所示：出发点在陆地处，终点在湖心岛处， 、南北相距，东西相距，湖岸位于点南侧，是一条东西方向的笔直长堤，比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从点出发跑步到达长堤的某处，在从处下水游泳到达终点，已知运动员甲跑步速度为，游泳速度为.请为运动员甲选择的位置，使其比赛用时最少？ 北