18版：专题探究课三-高考中数列问题的热点题型(创新设计).docx

高考导航　对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.热点一　等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.故等比数列{an}的通项公式为an＝×＝(－1)n－1·.(2)由(1)得Sn＝1－＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝，故0Sn－≤S1－＝－＝.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn1，故0Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.探究提高　解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【训练1】(2017·济南模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∴解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.(2)不存在.理由如下：∵＝＝，∴Tn＝＝，∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，易知数列为单调递减数列，∴1－2Tk≤，又＝∈，∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.热点二　数列的通项与求和(规范解答)数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】(满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.满分解答　(1)解　由题意有即2分解得或4分故或6分(2)解　由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，7分于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②8分①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－10分＝3－，11分故Tn＝6－.12分　?由题意列出方程组得2分.?解得a1与d得2分，漏解得1分.?正确导出an，bn得2分，漏解得1分.?写出cn得1分.?把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.【训练2】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求S2n.(1)证明　由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)解　由(1)知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝