4.1--极值.doc

教案（首页） 授课日期 授课班级 课 题 4.1 极值（2） 计划 学时 2 课时 教学目标 1.掌握最大，最小值的求解方法；2.总结求最值的一般性步骤；3.会求简单的最值应用题. 教学重点 解决措施 教学重点：最大，最小值的求解方法 解决措施：讲授、演示 教学难点 解决措施 教学难点：简单的最值应用题的建模和适用条件。 解决措施：讲授、演示 教学设计 教学手段 教学方法 多媒体教学、板书演示 板书设计 授课提纲 一、复习 二、新授 4.1 极值（2） （一）、函数最值的求解方法 （二）、函数最值的一般性解题步骤 （三）、简单函数最值的应用问题求解 三、练习 四、小结 五、作业 教 学 过 程 设 计 时间 分配 教师活动 学生活动 图4.6 例7 求函数在区间[]上的最大值和最小值。 解 令，即 =0 解得 ， 这些驻点处的值及端点处的值为： 比较这些值的大小，知最大值为，最小值为 。 在实际问题中求最值时，下述的一些结论将提供方便.假定所讨论的函数是可微的。 如果函数在[a,b]（或（a,b）,或无穷区间）的内部只有一个驻点，而这个驻点是极值点，那么这个驻点就是最值点，当驻点是极大值点时，它就是最大点，而驻点是极小值点时，它就是最小点。 如果从实际问题的分析知道，函数在所考虑的区间（可以是开区间或是无穷区间）内有最大值（或最小值），而该区间内只有一个驻点，那么这个驻点就是最大点（或最小点）. 例8 在一块边长为a的正方形纸板上截去四角相等的小方块，把各边折叠成无盖盒子.问截去多大的小方块能使盒子容量最大？（图4.7） 解 设截去的方块边长为，盒子容量为，则 其中，且可微。 在（）内只有一个驻点 。 将代入 ，得 所以是极大值点，故最大点为，最大体积为 例9 求内接于球（半径为R）的圆柱体的最大体积， 解 设圆柱体的高为，底半径为，体积为（图4.8），则 ， 其中应满足 ， 即 代入中，得 其中且可微。 令=0，得不在中应舍去。这样在内有唯一驻点，容易看到V的体积不会超过球的体积，最大值是存在的。所以 是最大点，最大值为 图4.8 例10 质量为G的物体放在水平面上，其上试加一力F使物体刚开始移动（设摩擦力存在，摩擦系数为），问当力F与水平面成什么角时，力最小。 解 从物理学中知道摩擦力与平面的正压力成正比，其比例系数就是摩擦系数，其方向与运动方向相反，设力F与水平面成角，其模用F表示，当F在水平方向分力与摩擦力相等时物体就将要移动(图4.9)。 容易求得正压力为于是 摩擦力= F的水平分力的大小， 从而得 其中。因为为常数，故求F的最小值也就是求的最大值，令 令=0，解得 在内只有一个驻点且可微。解得 又，当时，0.因而是极大值点，从而知也是最大点，即力F与水平成角时，F的模为最小。 图4.9 . 【课堂小结】 1. 拉格朗日中值定理； 2.函数极值的概念和必要条件； 3、函数增减性判别法，不等式的证明方法. 【作业布置】 课内练习：课本P91 1-4 课外作业：课本P91 1-12 P92 13-15 【教学反思】 2分钟 25分钟 25分钟 7分钟 6分钟 13分钟 2分钟 提问 单驻点的问题只要在区间内部必取最值 也可以用不等式做 同上 结合物理学的动摩擦系数的由来。 与高中物理知识相呼应。 小结提问 指导练习 复习回答 回答 巩固练习 表JX-2 教 案 纸 第 页 表JX—1 a X1 X2 X3 X4 b x y O a-2x x x x R h/2 G