4.3直线与圆锥曲线的交点(教案-学案作业含答案).doc

4.3 直线与圆锥曲线的位置关系（两课时） 教学目标： 1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题; 2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题; 3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法; 4．会用弦长公式|AB|=|x2－x1|求弦的长． 题型1：交点个数问题 例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点． 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？ 解： 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ① 显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足： a∈(－，－)∪(，) 若A、B分别在双曲线的两支上，则有： a∈(－，) 讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程，讨论得关于x的方程解析的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：与两种情况，只有时，才可用判别式确定解的个数；　　　　　　　　　　　　　　 （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 . （3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切． 题型2：与弦中点有关的问题 例2已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程; (Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设， 因为,所以化简得: (Ⅱ) 设 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意，设直线的方程为 将代入得 …………(1) …………(2) (1)-(2)整理得: 直线的方程为 即所求直线的方程为 解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则, 其中点不是N,不合题意. 故设直线的方程为,将其代入化简得 由韦达定理得, 又由已知N为线段CD的中点,得,解得, 将代入(1)式中可知满足条件. 此时直线的方程为,即所求直线的方程为 反思2：通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 练习： 已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点.求直线ON（O为坐标原点）的斜率。 ∵离心率为 ∴ ∴ ∴椭圆方程为， ∴F的坐标为 ∴AB：与联立得： 设， ， ∴， ∴ 题型3：与弦长有关的问题 例3已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点． （1）求实数的值； （2）问点位于抛物线弧上何处时， △面积最大？ 【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ 面积的最大值取得的条件 [解析]（1）将代入得， 由△可知， 另一方面，弦长AB，解得； （2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大， 则只须使得，即，即位于（4，4）点处． 【点评】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 反思3：如何求相交弦的长？ 弦长问题：联立方程，用弦长公式： ｜AB=== 题型4：对称问题? 例4.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由. 解：（1）联立方程，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0. 设A(),B(),那么： 由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即。 所以：，得到：，解得a= (2)假定存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。 那么：，两式相减得：，从而 因为A(),B()关于直线对称，所以 代入（*）式得到：-2=6，矛盾。 也就是说：不存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。 反思4：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上 练习：已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围. 解：（1）设椭圆的方程为由条件知 故故椭圆的方程是 （2）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,