平面向量的数量积（教学课件）.pptVIP

第三讲　平面向量的数量积 重点难点 重点：①平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示． ②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题． 难点：平面向量数量积的应用． 知识归纳 1．向量数量积的定义 (1)向量a与b的夹角 当 时，a与b垂直，记作a⊥b； 当θ＝0时，a与b同向； 当θ＝π时，a与b反向． (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0. (3)如图， 过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝ 叫做向量b在a方向上的投影． 当θ为锐角时，如图(甲)，它是正值； 当θ为钝角时，如图(乙)，它是负值； 当θ为直角时，如图(丙)，它是0； 当θ为0°时，它是|b|； 当θ为180°时，它是－|b|. (4)平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|·cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量数量积的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ . (4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a、b都是非零向量，则a⊥b?a·b＝0? . 误区警示 1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0. 2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可． 3．数量积不满足结合律，即对于向量a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，这是因为a·b与b·c都是实数．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而c与a却未必共线． 4．若a，b＝θ，则a在b方向上的投影为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为|b|·cosθ，应注意区分． 解题规律 夹角及垂直问题 (1)若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ， [例]　如图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C在AB上，且平分∠BOA，求点C的坐标． 解析：设点C坐标为(x，y) 由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且 [例1]　(08·江苏)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 分析：由|a|与|b|及夹角可求a·b，进而可求|5a－b|2. (09·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ (　　) 解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝ 答案：B 方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B. (09·江西)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)∥b，则k＝________. 解析：a－c＝(3－k，－1)，b＝(1,3)． ∵(a－c)⊥b， ∴1×(3－k)＋(－1)×3＝0?k＝0. 答案：0 [例3]　已知向量a＝(cos15°，sin15°)，b＝(－sin15°，－cos15°)，则|a＋b|的值为 (　　) 已知a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的长度|a×b|＝|a|·|b|sinθ.若u＝(2,0)，u－v＝(1，－ )，则|u×(u＋v)|＝________. [例4]　已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直． 试求：a与b的夹角． 分析：求a、b的夹角θ可利用公式a·b＝|a||b|cosθ，利用题设中的垂直条件，可得|a|、|b|的方程组求得|a|、|b|的关系，将它代入公式求出θ的值． 由①－②得46a·b－23b2＝0，所以b2＝2a·b. 将它代入②得a2＝2a·b，∴|a|＝|b|. 所以由b2＝2a·b可知|b|2＝2|a||b|cosθ， 所以cosθ＝ ，所以