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《九章算术》 张仓（？～前152年） 耿寿昌（前1世纪） 《九章算術》 （三） 魏晋至唐初—— 中国数学理论体系的建立 《缀术》  祖冲之（429～500）父子撰 圆周率算法 球体积推导 三次方程问题 球体积(祖暅) 算盘 《周髀算經》 《海島算經》 宋元全盛时期 ?近现代数学发展时期 二分法 “二分法”是这样陈述的：物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，要到达全程的一半，就必须到达全程的四分之一，这样的要求可以无限下去。所以，如果物体起动了，它永远到不了终点，或者它根本动 不了。 阿基里斯追龟 阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。 如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。 亚里士多德发现，在两个同心而半径不相等的圆周上有相同的点数，被称之为亚里士多德悖论，即“大小不同的两个圆之周长相等”的悖论。 伽利略注意到，固定两个半径不相等的同心圆，再将其旋转一周，并认为证明了这两个圆的周长相等的悖论，这是亚里士多德悖论的另一种证明。同时，伽利略还用今天的一一对应方法证明了“整数同其平方数相等”，于是得出“部分等于全体”的悖论，被人称为伽利略悖论。 早在1638?年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，就是：正整数集合：??????S1=?{1,?2,?3,?…,?n,…}?与正整数的平方数集合：??????????S2=?{1,?4,?9,?…,?n2,…},?这两个集合中，哪一个的元素更多一些呢？一方面，凡是S2中的元素，都是S1?中的元素，亦即S2?是S1的一个子集合，而且是一个真子集合，…，这样，S1的元素要比S2的元素多一些，但是，另一方面，S1中每一个元素都有S2中唯一的元素与之对应，…，这样S2的元素个数又不比S1少了。到底S2是否比S1少呢？伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。?因为伽利略是最早提出来部分究竟等不等于整体的，所以这个悖论便称为是伽利略悖论． 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 　　 　　18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 　　 　　1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 　　 　 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 　　直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中